Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/24/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 1 3 2 7 1 4 12 6 4 3 2 9 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare Gleichung zu einer Variablenmenge über einem Körper .
  2. Eine -Matrix über einem Körper .
  3. Die Transitivität einer Relation auf einer Menge .
  4. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  5. Eine irrationale Zahl.
  6. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer endlichen Menge .


Lösung

  1. Zu nennt man

    eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen über .

  2. Unter einer -Matrix über versteht man ein Schema der Form

    wobei für und ist.

  3. Die Relation heißt transitiv, wenn aus und stets folgt.
  4. Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  5. Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus .
  6. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf ist eine Abbildung

    mit


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.
  2. Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper .
  3. Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und

    eine lineare Gleichung über in den Variablen . Es sei . Dann steht die Lösungsmenge der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum , und zwar über die Abbildungen

    und

  2. Es sei ein angeordneter Körper, und es seien und drei Folgen in . Es gelte

    und und

    konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
  3. Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und

    eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir die zweite Gleichung mit der dritten Gleichung addieren. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (1 Punkt)

Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?


Lösung Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Biclique K 3 3.svg

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.


Lösung Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe .


Lösung

Bei ist der Restklassenring gleich selbst und kein Körper. Bei besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist . Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ist keine Primzahl. Sei also von nun an . Wenn keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung

mit kleineren Zahlen

Im Restklassenring bedeutet dies, dass die Restklassen und nicht sind, dass aber ihr Produkt

ist. Das kann nach Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) in einem Körper nicht sein.

Sei nun eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von verschiedene Restklasse , , ein inverses Element besitzt. Da prim ist, sind und teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen mit

Dies führt im Restklassenring zur Identität

die besagt, dass und invers zueinander sind.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

rational ist oder nicht.


Lösung

Es ist

eine rationale Zahl.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert .

  1. Berechne und .
  2. Berechne und .
  3. Berechne und .
  4. Konvergiert die Produktfolge innerhalb der rationalen Zahlen?


Lösung

  1. Es ist

    und

  2. Es ist

    und

  3. Es ist

    und

  4. Die Heron-Folge konvergiert in gegen und die Heron-Folge konvergiert in gegen , daher konvergiert die Produktfolge gegen . Da dies zu gehört, konvergiert die Produktfolge auch in .


Aufgabe weiter

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen , ( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

  1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von , nachdem einmal die Regel und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
  2. Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
  3. Bestimme ein Intervall der Form mit , das ganz in enthalten ist.
  4. Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
  5. Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.
  6. Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge besitzt?


Lösung

  1. Das im ersten Schritt konstruierte Intervall ist (mit der Länge ). Dessen Unterteilung in fünf gleichlange Teile ist durch

    gegeben. Das vierte Teilintervall davon ist

  2. Teile das Vorgängerintervall in gleichlange Teile und nehme davon das -te Teilintervall.
  3. Bei der schriftlichen Division ergeben sich die Anfangsziffern , bei der schriftlichen Division ergeben sich die Anfangsziffern . Daher ist das Intervall in enthalten (also ).
  4. Die Länge des Intervalls ist , da ja in jedem Doppelschritt das Vorgängerintervall in Teile zerlegt wird und eins davon genommen wird. Es sei die untere Intervallgrenze von . Dann besteht der rekursive Zusammenhang

    Somit ist

  5. (und gleichzeitig (6)) Es handelt sich um . Wenn man nämlich im -er System die Division durchführt, so erhält man zuerst eine . Die Division mit Rest zur Berechnung der nächsten Ziffer ergibt

    Die erste Nachkommaziffer ist also und der Rest ist ebenfalls . Damit wiederholt sich in der schriftlichen Division alles und es ergibt sich diejenige Zahl, bei der in der Ziffernentwicklung zur Basis (die Vorkammaziffern sind und) an jeder Nachkommastelle die Ziffer für steht. Insbesondere ist die Periodenlänge gleich . Nach (dem analogen Resultat zur Basis zu) Lemma 28.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ist somit

    was die Grenzen des Intervalls sind.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.


Lösung

Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form

besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als

auffassen, wobei die Einsen an der -ten, -ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe

Nach Satz 47.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) konvergiert dies gegen

wobei jeweils Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.


Lösung

Wir schreiben

Somit kann man als die Hintereinanderschaltung der Funktionen , und auffassen. Diese Funktionen sind jeweils nach Satz 52.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)), Beispiel 51.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) und Satz 53.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) stetig. Aufgrund von Lemma 51.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ist dann die Hintereinanderschaltung ebenfalls stetig.


Aufgabe (2 Punkte)

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.

Grad Bogenmaß Prozent


Lösung

Grad Bogenmaß Prozent


Aufgabe (9 (2+1+2+4) Punkte)

Beim Skat gibt es Karten, darunter Buben, und jeder Spieler bekommt Karten.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler alle Buben bekommt.
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei Spieler alle Buben bekommt.
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler (genau) Buben bekommt.
  4. Spieler hat zwei Buben bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler ebenfalls zwei Buben hat?


Lösung

  1. Die Anzahl der möglichen „Hände“, die Spieler bekommen kann, beträgt . Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind . Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich
  2. Die drei Ereignisse sind disjunkt, daher ist die Wahrscheinlichkeit das Dreifache der Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich
  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler zwei Buben bekommt, beträgt (Welche zwei Buben? Welche acht anderen Karten?)
  4. Es geht um die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Spieler zwei Buben bekommt unter der Bedingung, dass Spieler zwei Buben bekommt. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sowohl Spieler als auch Spieler zwei Buben bekommt, muss man sich zunächst klar machen, dass es Möglichkeiten gibt, je zehn Karten auf zwei Spieler zu verteilen. Es gibt Möglichkeiten, die Buben in zwei Hälften aufzuteilen, und es gibt Möglichkeiten, die Nichtbuben auf diese zwei Spieler aufzuteilen. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit
    Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich