Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	5	4	2	2	3	2	1	7	3	2	2	4	3	3	3	3	6	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Linearkombination zu Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$.
2. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
3. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
4. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

5. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
6. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.

Lösung

1. Eine Summe

   $\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

   mit Skalaren ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.

2. Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus ${}T$ aus dieser Klasse gibt.
3. Man nennt

   ${}M/\sim :={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$

   die Quotientenmenge von ${}\sim$.

4. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
5. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

6. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
2. Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe ${}G$.
3. Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$.

Lösung

1. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

   ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

   über einem Körper ${}K$ ist ein Untervektorraum des ${}K^{n}$

   (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
2. Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe und ${}G/H$ die Quotientenmenge zur durch ${}H$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}G$ mit der kanonischen Projektion

   $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$

   Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
3. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte

   $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

   und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

   konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$.

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Der gemeinnützige Verein „Bobbycarbahn für alle Kinder“ errichtet Bobbycarbahnen. Diese werden aus quadratischen Grundplatten (mit einer Seitenlänge von ${}0,7$ Metern) zusammengesetzt, die entweder gegenüberliegende Seitenberandungen (Typ ${}A$; hier fährt man parallel zur Seitenberandung) oder an einer Ecke anliegende Seitenberandungen haben (Typ ${}B$, in der Ecke gegenüber den Seiten gibt es eine kleine Eckberandung; hier fährt man eine Kurve).

1. Es soll eine insgesamt quadratische Bahn aus ${}16$ Grundplatten gebaut werden, wobei eine geschlossene Bahn entstehen soll, die jede Platte einfach durchläuft. Skizziere eine mögliche Anordnung der Grundplatten.
2. Wie viele Platten vom Typ ${}A$ und wie viele vom Typ ${}B$ werden in Ihrer Skizze verwendet?
3. Es soll eine insgesamt quadratische Bahn aus ${}9$ Grundplatten gebaut werden, wobei eine geschlossene Bahn entstehen soll, die jede Platte einfach durchläuft. Begründe, dass dies nicht möglich ist.

Lösung

1. ${}\,$
2. ${}\,$
3. Wir beginnen in der Mitte. Ohne Einschränkung (durch Drehung bzw. eine Spiegelung) verläuft der Weg nach oben und dann nach links. Dann muss er in das Eck links oben laufen und dann nach unten. In die Mitte kann es nicht zurückgehen, sonst würden die anderen Platten nicht erreicht werden. Also verläuft der Weg weiter nach unten links und dann unten nach rechts und schließlich nach oben. Rechts in der Mitte kann der Weg nicht in die Mitte, sonst würde die Eckplatte rechts oben nicht getroffen. Wenn diese getroffen wird, so kann man von dort nicht in die Mitte und es entsteht kein geschlossener Weg.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und ${}IV-5I$ hinzunehmen. Dies führt auf

${\begin{matrix}2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\-14x&+3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-20w&=&-17\,.\end{matrix}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${}w$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}II-I$ und ${}III+20I$ ausrechnen. Dies führt auf

${\begin{matrix}2x&+4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\26x&+43y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-17\,.\end{matrix}}$

Mit ${}13I-II$ ergibt sich

${}9y=43\,$

und

${}y={\frac {43}{9}}\,.$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${}x=1-2y=-{\frac {77}{9}}\,,$

${}w=-2x-2y=-2{\left(-{\frac {77}{9}}\right)}-2{\frac {43}{9}}={\frac {68}{9}}\,$

und

${}z=4-3x-4w=4+3{\frac {77}{9}}-{\frac {272}{9}}=-{\frac {5}{9}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Lösung

Es seien

${}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

mit ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, ${}b_{i}\neq 0$, sämtliche Koeffizienten (einschließlich der inhomogenen Seite), die in mindestens einer Gleichung des linearen Gleichungssystems vorkommen. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Es sei ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches all dieser Nenner ${}b_{i}$. Wir multiplizieren alle Gleichungen des Systems mit ${}b$. Dadurch entsteht ein äquivalentes Gleichungssystem, wobei alle Koeffizienten ganzzahlig werden.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Lösung

Es ist ${}{\begin{pmatrix}0\\{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Gleichung, die wir als Aufpunkt nehmen können. Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}}$ ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung. Somit ist

${\left\{{\begin{pmatrix}0\\{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {Q} \right\}}$

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Lösung

Es ist

${}\varphi (a+b)={\begin{pmatrix}a+b&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b&0\\0&0\end{pmatrix}}=\varphi (a)+\varphi (b)\,,$

die Abbildung ist also mit der Addition verträglich.

Es ist

${}\varphi (a\cdot b)={\begin{pmatrix}a\cdot b&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b&0\\0&0\end{pmatrix}}=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\,,$

die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist

${}\varphi (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

die Abbildung bildet also nicht die ${}1$ auf die ${}1$ ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die auf ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$ durch

$(a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,$

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Lösung

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien ${}(a,b)\sim (c,d)$ und ${}(c,d)\sim (e,f)$. Dies bedeutet ${}ad=bc$ bzw. ${}cf=ed$. Somit ist

${}adf=bcf=bde\,.$

Wegen ${}d\neq 0$ ergibt die Kürzungsregel in ${}\mathbb {Z}$ die Gleichheit

${}af=eb\,,$

also ${}(a,b)\sim (e,f)$.

Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Lösung

${}\cdot$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}2$	${}0$	${}2$	${}4$	${}1$	${}3$
${}3$	${}0$	${}3$	${}1$	${}4$	${}2$
${}4$	${}0$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Lösung

Bei ${}n=0$ ist der Restklassenring gleich ${}\mathbb {Z}$ selbst und kein Körper. Bei ${}n=1$ besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist ${}{\overline {0}}\,={\overline {1}}\,$. Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ${}1$ ist keine Primzahl. Sei also von nun an ${}n\geq 2$. Wenn ${}n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung

${}n=rs\,$

mit kleineren Zahlen

${}1<r,s<n\,.$

Im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ bedeutet dies, dass die Restklassen ${}{\overline {r}}\,$ und ${}{\overline {s}}\,$ nicht ${}0$ sind, dass aber ihr Produkt

${}{\overline {r}}\,{\overline {s}}\,={\overline {rs}}\,={\overline {n}}\,=0\,$

ist. Das kann nach Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) in einem Körper nicht sein.

Sei nun ${}n$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von ${}0$ verschiedene Restklasse ${}{\overline {r}}\,$, ${}0<r<n$, ein inverses Element besitzt. Da ${}n$ prim ist, sind ${}r$ und ${}n$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen ${}a,b$ mit

${}ar+bn=1\,.$

Dies führt im Restklassenring zur Identität

${}{\begin{aligned}{\overline {1}}\,&={\overline {ar+bn}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,+{\overline {b}}\,{\overline {n}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,,\end{aligned}}$

die besagt, dass ${}{\overline {r}}\,$ und ${}{\overline {a}}\,$ invers zueinander sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {44}}$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}97=2\cdot 44+9\,,$

${}44=4\cdot 9+8\,,$

${}9=1\cdot 8+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=9-1\cdot 8\\&=9-1\cdot (44-4\cdot 9)\\&=5\cdot 9-1\cdot 44\\&=5\cdot (97-2\cdot 44)-1\cdot 44\\&=5\cdot 97-11\cdot 44.\end{aligned}}$

Daher ist

${}-11=86\,$

das inverse Element zu ${}44$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke

${\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}&=4^{\frac {1}{3}}\cdot 7^{\frac {1}{5}}\\&={\left(4^{5}\right)}^{\frac {1}{15}}\cdot {\left(7^{3}\right)}^{\frac {1}{15}}\\&=1024^{\frac {1}{15}}\cdot 343^{\frac {1}{15}}\\&=351232^{\frac {1}{15}}\\&={\sqrt[{15}]{351232}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}&={\frac {1}{10}}-{\frac {4}{15}}{\sqrt {3}}-{\frac {3}{28}}{\sqrt {3}}+{\frac {2}{7}}\cdot {\sqrt {3}}^{2}\\&={\frac {1}{10}}+{\frac {6}{7}}-{\left({\frac {4}{15}}+{\frac {3}{28}}\right)}{\sqrt {3}}\\&={\frac {7+60}{70}}-{\frac {112+45}{420}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {67}{70}}-{\frac {157}{420}}{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a<b$ rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

$[0,1]\longrightarrow [a,b]$

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.

Lösung

Wir definieren die Abbildung ${}\varphi \colon K\rightarrow K$ durch

${}\varphi (x):={\left(b-a\right)}x+a\,.$

Da es sich bis auf die Verschiebung um ${}a$ um eine lineare Funktion mit einem positiven Proportionalitätsfaktor handelt, ist sie nach Lemma 25.15 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (1) streng wachsend und auch bijektiv. Es ist offenbar ${}\varphi (0)=a$ und ${}\varphi (1)=b$. Somit ist

${}\varphi ([0,1])\subseteq [a,b]\,$

und die Abbildung lässt sich auf die Intervalle zu einer bijektiven Abbildung einschränken. Für eine rationale Zahl ${}x={\frac {r}{s}}\in [0,1]$ ist

${}\varphi (x)=\varphi {\left({\frac {r}{s}}\right)}=(b-a){\frac {r}{s}}+a\,$

wegen der Rationalität von ${}a$ und ${}b$ wieder rational.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Lösung

Die Formel für ${}x_{n+1}$ lautet

${}x_{n+1}={\frac {1}{2}}{\left(x_{n}+{\frac {7}{x_{n}}}\right)}\,.$

Daher ist

${}x_{1}={\frac {1}{2}}{\left(3+{\frac {7}{3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {9+7}{3}}\right)}={\frac {16}{6}}={\frac {8}{3}}\,.$

Somit ist

${}x_{2}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {7}{8/3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {21}{8}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {64+63}{24}}={\frac {127}{48}}\,.$

Schließlich ist

${}x_{3}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {7}{127/48}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {336}{127}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {16129+16128}{6096}}={\frac {32257}{12192}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$. Es sei ${}u\in K_{+}$, ${}d=c\cdot u^{2}$, ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$. Zeige

${}y_{n}=ux_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also

${}y_{n}=ux_{n}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}y_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {d}{y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+{\frac {u^{2}c}{ux_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+u\cdot {\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot {\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot x_{n+1}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Für ${}n\geq 1$ kann man die Folge (durch Erweiterung mit ${}1/n^{4}$) als

${}x_{n}:={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}={\frac {7-2{\frac {1}{n^{2}}}+5{\frac {1}{n^{4}}}}{4-5{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{3}}}-6{\frac {1}{n^{4}}}}}\,$

schreiben. Folgen vom Typ ${}a/n,\,a/n^{2},\,a/n^{3}$ und ${}a/n^{4}$ sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen ${}7$ und der Nenner gegen ${}4$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen ${}7/4\in \mathbb {Q}$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge in ${}K$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in ${}K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge ${}(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Lösung

Es sei ${}B>0$ eine Schranke für ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gibt es zu ${}{\frac {\epsilon }{B}}$ ein ${}n_{0}$ derart, dass für ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}$ gilt. Für diese Indizes ist dann auch

${}\vert {x_{n}y_{n}}\vert =\vert {x_{n}}\vert \cdot \vert {y_{n}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{B}}\cdot B=\epsilon \,.$

Aufgabe (6 (2+1+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Wir betrachten Ausdrücke der Form

$\ldots z_{3}z_{2}z_{1}z_{0},z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots$

mit ${}z_{i}\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, die sowohl nach vorne als auch nach hinten unendlich weiter gehen.

1. Interpretiere einen solchen Ausdruck als eine Folge ${}x_{n}$ in ${}K$.
2. Was muss man zu ${}x_{n}$ hinzuaddieren, um ${}x_{n+1}$ zu erhalten.
3. Wann ist eine solche Folge ${}x_{n}$ eine Cauchy-Folge?

Lösung

1. Ähnlich wie bei Dezimalbruchfolgen sei die Folge dadurch gegeben, dass nur die Ziffern bis zur ${}n$-ten Vorkommaziffer und bis zur ${}n$-ten Nachkommaziffer berücksichtigt werden, also

   ${}x_{n}=\sum _{i=-n}^{n}z_{i}10^{i}\,.$

2. Es ist

   ${}x_{n+1}=x_{n}+z_{n+1}10^{n+1}+z_{-n-1}10^{-n-1}\,.$

3. Die Folge ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn vor dem Komma alle Ziffern ${}z_{n}$ ab einer bestimmten Stelle ${}n_{0}$ gleich ${}0$ sind. In diesem Fall liegt (ab dem ${}n_{0}$-ten Folgenglied) eine gewöhnliche Dezimalbruchfolge vor, und diese ist nach Fakt ***** eine Cauchy-Folge. Wenn hingegen unendlich viele Vorkommazifferen ungleich ${}0$ sind, so ist die Folge unbeschränkt, und kann nach Fakt ***** keine Cauchy-Folge sein.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine typische Fehlvorstellung, die man zum Zahlenstrahl haben kann. Wie kann man diese erkennen und gegebenenfalls ausräumen?

Lösung Zahlenstrahl/Fehlvorstellung/Aufgabe/Lösung