Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 45

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper eine Cauchy-Folge ist, durch Umwandlung der Quantoren.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine gegen konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen konvergiert.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Folge

in keinem angeordneten Körper konvergiert. Kann sie beschränkt sein?


Aufgabe

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper derart, dass

für alle gilt. Es seien und Cauchy-Folgen und es sei die Differenzfolge eine Nullfolge. Zeige, dass dann auch eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Teilfolge einer Cauchy-Folge wieder eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe

Es seien angeordnete Körper und es sei eine Folge in , die in gegen konvergiert. Zeige, dass die Folge in eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei eine fallende, nach unten beschränkte Folge. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.


Aufgabe

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper mit für alle . Die Quadratfolgen und seien konvergent und es sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.


Aufgabe *

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper mit für alle . Es sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.


Aufgabe

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass es eine Teilfolge , derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und eine konvergente Folge in . Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Folge der Stammbrüche die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Folge ist eine Nullfolge.
  2. Die Folge ist eine Cauchy-Folge.
  3. Der Körper ist archimedisch angeordnet.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und mit . Zeige, dass für alle die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Zwei Personen, und , sitzen in der Kneipe. will nach Hause gehen, aber will noch ein Bier trinken. „Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte“ sagt . Danach möchte immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel „allerletztes Bier“ trinken sie insgesamt?


Aufgabe *

Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Aufgabe *

Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn die durch

gegebene Folge eine Nullfolge ist.


Aufgabe *

Zeige


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe in einem archimedisch angeordneten Körper konvergiert und bestimme den Grenzwert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper und es sei eine Nullfolge in . Zeige, dass die Summenfolge

ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper . Zeige, dass es eine Teilfolge , mit der Eigenschaft gibt, dass zu jedem für alle die Abschätzung

gilt.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 45.11 hilfreich.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Es seien Startwerte und bzw. die zugehörigen Heron-Folgen zur Berechnung von . Zeige, dass eine Nullfolge ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe beschränkt ist.



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