Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Liste der Hauptsätze/kontrolle

Wachsende nach oben beschränkte Folge ...

Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.

Dann ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

Frage:

Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Name

Antwort:

Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis/Aufgabe

Existenz der Wurzeln

Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$

gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl ${}x$ mit

${}x^{k}=c\,.$

Frage:

Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Name

Antwort:

Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Rechenregeln für stetige Funktionen

Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ und seien

f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq D$ , auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

stetig.

Frage:

Die Rechenregeln für stetige Funktionen

f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .

Antwort:

Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen

f+g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),

f-g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),

f\cdot g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R}$ , auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),

stetig.

Beweisaufgabe

Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Wurzelfunktionen

Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Für ${}n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Für ${}n$ gerade ist die Potenzfunktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{n},

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{1/n},

ist streng wachsend und stetig.

Frage:

Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Name

Antwort:

Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt

Die reelle Sinusfunktion

induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$

Frage:

Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.

Antwort:

Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].

Beweisaufgabe

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]

induziert.

Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt

Die Binomialverteilung zu ${}p\in [0,1]$

ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf ${}\{0,1,\ldots ,n\}$ .

Frage:

Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt/Name

Antwort:

Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Binomialverteilung/Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte/Fakt/Beweis/Aufgabe

Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt

Es sei ${}M=\{0,1\}$ mit der Bernoulli-Verteilung zur Wahrscheinlichkeit ${}p$ versehen und es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Es sei

{}N=M^{n}\,

das ${}n$ -fache Produkt von ${}M$ mit sich selbst.

Dann besitzt zu ${}k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ das Ereignis

${}E_{k}={\left\{{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\in M^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}x_{i}=k\right\}}\,$

die Wahrscheinlichkeit

${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,.$

Frage:

Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Name

Antwort:

Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Bernoulli-Verteilung/Produktmenge/Binomialverteilung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Verteilung für das k-fache Eintreten

Experiment/Hintereinanderausführung/Binomialverteilung/Fakt

Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte ${}0$ und ${}1$ annehmen kann und bei dem der Wert ${}1$ die Wahrscheinlichkeit ${}p$ besitzt.

Dann ist die Verteilung auf ${}\{0,1,\ldots ,n\}$ , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der ${}n$ -fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes ${}k$ -fach das Ereignis ${}1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge ${}n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$ gegeben.

Frage:

Der Satz über die Verteilung bei der ${}n$ -fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.

Antwort:

Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte ${}0$ und ${}1$ annehmen kann und bei dem der Wert ${}1$ die Wahrscheinlichkeit ${}p$ besitzt. Dann ist die Verteilung auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der ${}n$ -fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes ${}k$ -fach das Ereignis ${}1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge ${}n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$ gegeben.

Beweisaufgabe

Experiment/Hintereinanderausführung/Binomialverteilung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Jedes Ereignis ist zu ${}\emptyset$ und zu ${}M$ unabhängig.

Wenn die Ereignisse ${}E$ und ${}F$ unabhängig sind, so sind auch ${}E$ und ${}M\setminus F$ unabhängig.

Wenn ein Ereignis ${}E$ zu sich selbst unabhängig ist, so ist
${}P(E)=0{\text{ oder }}1\,.$

Frage:

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt/Name

Antwort:

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Unabhängigkeit/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt

Es seien ${}(M_{1},P_{1}),\ldots ,(M_{n},P_{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und

{}M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,

der Produktraum.

Dann sind zu Ereignissen ${}E_{i}\subseteq M_{i}$ und ${}E_{j}\subseteq M_{j}$ mit ${}i\neq j$ die Zylindermengen ${}q_{i}^{-1}(E_{i})$ und ${}q_{j}^{-1}(E_{j})$ unabhängig.

Frage:

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt/Name

Antwort:

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt

Es seien ${}(M_{1},P_{1}),\ldots ,(M_{n},P_{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und

{}M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,

der Produktraum. Es seien Ereignisse ${}E_{1}\subseteq M_{1}$ , ${}E_{2}\subseteq M_{2}$ ,..., ${}E_{n}\subseteq M_{n}$ gegeben und es seien ${}{\tilde {E_{i}}}$ die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also

{}{\tilde {E_{i}}}=M_{1}\times \cdots \times M_{i-1}\times E_{i}\times M_{i+1}\times \cdots \times M_{n}=q_{i}^{-1}(E_{i})\,.

Dann sind die Ereignisse ${}{\tilde {E_{1}}},\ldots ,{\tilde {E_{n}}}$ vollständig unabhängig.

Frage:

Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.

Antwort:

Es seien ${}(M_{1},P_{1}),\ldots ,(M_{n},P_{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und

{}M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,

der Produktraum. Es seien Ereignisse ${}E_{1}\subseteq M_{1}$ , ${}E_{2}\subseteq M_{2}$ , ... , ${}E_{n}\subseteq M_{n}$ gegeben und es seien ${}{\tilde {E_{i}}}$ die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also

{}{\tilde {E_{i}}}=M_{1}\times \cdots \times M_{i-1}\times E_{i}\times M_{i+1}\times \cdots \times M_{n}=p_{i}^{-1}(E_{i})\,.

Dann sind die Ereignisse ${}{\tilde {E_{1}}},\ldots ,{\tilde {E_{n}}}$ vollständig unabhängig.

Beweisaufgabe

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Produkt/Vollständige Unabhängigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhängigkeit/Fakt

Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und ${}B\subseteq M$ eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit und es sei ${}E\subseteq M$ ein Ereignis.

Dann sind ${}E$ und ${}B$ genau dann unabhängig, wenn

${}P(E)=P(E{|}B)\,$

ist, wenn also die Wahrscheinlichkeit von ${}E$ mit der bedingten Wahrscheinlichkeit von ${}E$ unter der Bedingung ${}B$ übereinstimmt.

Frage:

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhängigkeit/Fakt/Name

Antwort:

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhängigkeit/Fakt/Name/Inhalt

Beweisaufgabe

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe