Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 19/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere die zweite binomische Formel für einen kommutativen Ring ${}R$ und führe sie auf die erste binomische Formel zurück.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise die dritte binomische Formel für einen kommutativen Ring ${}R$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}x,y$ und ${}z$ Elemente in ${}R$. Berechne

${\left(2x^{3}-xy^{2}z-4x^{2}y^{2}\right)}{\left(-2x^{3}-z-xyz\right)}-x^{2}{\left(4-3y-5xy^{5}z\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}x\in R$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige die Gleichheit

${}x^{n}-1=(x-1){\left(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\cdots +x^{2}+x+1\right)}\,.$

Aufgabe Aufgabe 19.5 ändern

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} ^{2}$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring ist. Gilt in diesem Ring die Eigenschaft, dass aus ${}xy=0$ folgt, dass ${}x$ oder ${}y$ gleich ${}0$ ist?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position ${}(-2,3)\in \mathbb {Z} ^{2}$, wobei sich im Folgenden die erste Komponente auf links/rechts und die zweite Komponente auf vorne/hinten bezieht. Sie geht vier Schritte nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, dann einen Schritt nach links, einen (etwas größeren) Diagonalschritt nach links hinten und schließlich zwei Schritte nach vorne. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss? Durch welche möglichst einfache Bewegung kann sie die Gesamtbewegung rückgängig machen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

${}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,$

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}-1$, also die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,g\longmapsto -g,$

bijektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere, welche Bedeutungen die Begriffe positiv und negativ in einem kommutativen Ring besitzen. Wie sieht es in ${}\mathbb {Z}$ aus? Welche Bedeutung ist relativ, welche absolut?

Aufgabe Aufgabe 19.10 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}k,m,n$ ganze Zahlen und ${}x,y\in R$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ ist ${}nx$ (also die ${}n$-fache Summe von ${}x$ mit sich selbst) gleich ${}(1+\cdots +1)\cdot x$, wobei links die ${}n$-fache Summe der ${}1\in R$ mit sich selbst steht.
2. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ ist ${}-n$ (also die ${}n$-fache Summe des Negativen von ${}1$ mit sich selbst) gleich dem Negativen (in ${}R$) von ${}n=1+\cdots +1$.
3. Es ist

   ${}(m+k)x=mx+kx\,.$

4. Es ist

   ${}k(x+y)=kx+ky\,.$

5. Es ist

   ${}(km)x=k(mx)\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

die Multiplikation mit ${}f$. Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Gabi Hochster hat heute keine Lust, bei der Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Überträge zu berücksichtigen. Sie addiert einfach ziffernweise und schreibt nur die Endziffern der Einzelsummen an die richtige Stelle hin. Sie sagt: „Meine neue Verknüpfung ist viel besser als die übliche Addition: Sie ist einfacher zu berechnen, sie ist assoziativ und kommutativ und sie besitzt ein neutrales Element. Darüber hinaus gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass deren Summe die ${}0$ ergibt. Es liegt also sogar eine Gruppe vor und die ganzen Zahlen braucht man gar nicht mehr“. Sind ihre Beobachtungen korrekt?

Aufgabe * Aufgabe 19.13 ändern

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$

für alle ${}x\in G$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei ${}B$ die Menge aller bijektiven Abbildungen von ${}M$ nach ${}M$. Zeige, dass ${}B$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element, was ist das inverse Element zu ${}f\in B$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x\circ g,$

die Verknüpfung mit ${}g$. Zeige, dass ${}\varphi$ bijektiv ist. In welcher Beziehung steht diese Aussage zu Lemma 19.8?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. ${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
2. ${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Aufgabe Aufgabe 19.17 ändern

Zeige, dass die Größergleichrelation ${}\geq$ auf den ganzen Zahlen eine totale Ordnung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein angeordneter Ring. Zeige, dass für jedes ${}x\in R$ die Beziehung ${}x^{2}=xx\geq 0$ gilt.

Aufgabe Aufgabe 19.19 ändern

Zeige, dass in einem angeordneten Ring aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ die Beziehung ${}ac\leq bc$ folgt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein angeordneter Ring und ${}x>y$. Zeige, dass dann ${}-x<-y$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein angeordneter Ring und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a) ${}4,-7,-6,8,5$,

b) ${}-3,-2,-1,0$,

c) ${}-4+3,2-3,4-5,6-7,-4+6$.

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der Ordnung ${}\preccurlyeq$, bei der

${}0\preccurlyeq \mathbb {Z} _{-}\preccurlyeq \mathbb {Z} _{+}\,$

gilt und die auf den Teilmengen ${}\mathbb {Z} _{-}$ und ${}\mathbb {Z} _{+}$ mit der Ordnung ${}\leq$ übereinstimmt.

1. Zeige, dass ${}\preccurlyeq$ eine totale Ordnung auf ${}\mathbb {Z}$ ist.
2. Zeige, dass mit ${}0\preccurlyeq x,y$ auch

   ${}0\preccurlyeq x+y\,$

   gilt.

3. Zeige, dass mit ${}0\preccurlyeq x,y$ auch

   ${}0\preccurlyeq x\cdot y\,$

   gilt.

4. Ist ${}(\mathbb {Z} ,\preccurlyeq )$ ein angeordneter Ring?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere Grenzen des Permanenzprinzips angesichts der Definition 19.9 in Bezug zu Lemma 10.5.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche Teilerbeziehung besteht zwischen ${}0$ und einer beliebigen ganzen Zahl ${}n$ und welche Teilerbeziehung besteht zwischen ${}1$ und einer beliebigen ganzen Zahl ${}n$?

Aufgabe Aufgabe 19.26 ändern

Beweise die Teilbarkeitsregeln für ganze Zahlen, die in Lemma 19.15 aufgelistet sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ aus

$a{|}b{\text{ und }}b{|}a$

die Beziehung ${}a=\pm b$ folgt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Rechne im Dezimalsystem

$5382-6981.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Rechne im Dezimalsystem

$-75009+9817.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne

$1-10+100-1000+10000-100000+1000000.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

${}n=5\cdot 10^{3}-70\cdot 10^{2}-3\cdot 10^{1}+6\cdot 10^{0}\,$

im Zehnersystem.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

${}n=11\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}-2561\cdot 10^{0}\,$

im Zehnersystem.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es liegen zwei ganze Zahlen ${}m$ und ${}n$ im Dezimalsystem vor. Lässt sich die letzte Ziffer der Summe ${}m+n$ allein aus den beiden letzten Ziffern der beiden Zahlen bestimmen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Gilt für ganze Zahlen, die im Dezimalsystem gegeben sind, für die Teilbarkeit durch ${}3$ ein Quersummentest? Wie ist dieser zu formulieren?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}x,y$ und ${}z$ Elemente in ${}R$. Berechne das Produkt

${\left(x^{2}-3yzy-2zy^{2}+4xy^{2}\right)}{\left(2xy^{3}x-z^{2}xyx\right)}{\left(1-3zyxz^{2}y\right)}.$

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für ganze Zahlen ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ genau dann das „umgekehrte Distributivgesetz“

${}a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)\,$

gilt, wenn

${}a=0\,$

oder

${}a+b+c=1\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Maximum und das Minimum der folgenden ganzen Zahlen.

a) ${}-6,\,4,\,-5,\,3,\,5$,

b) ${}-7,\,-5,\,-6,\,-4$,

c) ${}-6+2,\,2-8,\,5-5,\,3-7,\,5-9$.

Wie lautet die Antwort, wenn man jeweils die Beträge dieser Zahlen betrachtet?

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Welche Ordnungseigenschaften erfüllt die Teilarkeitsbeziehung auf ${}\mathbb {Z}$, welche nicht?

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Rechne im Dezimalsystem

$-4901-5328.$

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Darstellung der ganzen Zahl

${}n=-3\cdot 10^{3}+31\cdot 10^{2}+5\cdot 10^{1}-37\cdot 10^{0}\,$

im Zehnersystem.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es für jede ganze Zahl ${}z$ eine eindeutige Darstellung

${}z=\sum _{i=0}^{n}c_{i}10^{i}\,$

mit

${}-4\leq c_{i}\leq 5\,$

für alle ${}i$ gibt.