Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 34/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}2x-5y-3z=0\,.$

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Körper ${}K$, aufgefasst als Vektorraum, nur zwei Untervektorräume besitzt, nämlich den Nullraum ${}0$ und sich selbst.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die folgenden Teilmengen ${}T=\mathbb {Q} ^{2}$ Untervektorräume sind.

1. ${}\{0\}$,
2. ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}\times \mathbb {Q} _{\geq 0}$,
3. Der Graph der linearen Funktion ${}y=7x$,
4. Das Quadrat ${}[0,1]\times [0,1]$,
5. ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$,
6. Die Vereinigung aus der ${}x$-Achse und der ${}y$-Achse (das Achsenkreuz),
7. ${}\mathbb {Q} \times 0$,
8. Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung ${}4x-9y=11$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe sämtliche Untervektorräume des ${}\mathbb {Q} ^{2}$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ insbesondere eine Untergruppe des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in K^{n}$ Vektoren und sei

${}U={\left\{\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}U$ ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ die Untervektorräume

${}U=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\7\end{pmatrix}}\rangle \,$

und

${}W=\langle {\begin{pmatrix}5\\-1\\11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Zeige ${}U=W$.

Aufgabe * Aufgabe 34.9 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}3x+4y-2z+5w=0\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

$-2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Im ${}K^{n}$ seien zwei Vektoren ${}u,v$ gegeben und es sei ${}U=\langle u,v\rangle \subseteq K^{n}$ der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum. Zeige, dass die Vektoren ${}u,v$ genau dann eine Basis von ${}U$ bilden, wenn weder ${}u$ ein Vielfaches von ${}v$ noch ${}v$ ein Vielfaches von ${}u$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}U_{1},\ldots ,U_{r}\subseteq K^{n}$ Untervektorräume. Zeige, dass der Durchschnitt ${}U_{1}\cap \ldots \cap U_{r}$ ebenfalls ein Untervektorraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${\begin{matrix}3x-6y-5z&=&0\\x+7y+4z&=&0\,\end{matrix}}$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3&-4\\5&-2&-1\end{pmatrix}}\,$

und

${}c={\begin{pmatrix}-3\\-7\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems ${}Mv=0$.
2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems ${}Mv=c$ mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-7x+5y=-4\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe Aufgabe 34.19 ändern

Es seien im ${}K^{2}$ zwei Geraden ${}G$ und ${}H$ in Gleichungsform durch

${}ax+by=c\,$

bzw.

${}rx+sy=d\,$

gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt ${}G\cap H$ der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:

1. Es ist ${}G=H$.
2. Es ist ${}G\cap H=\emptyset$.
3. Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über ${}\mathbb {Q}$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Vorlage:Inputaufga

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ${}n$) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,$

und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.$

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,$

wie in Beispiel *****.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume

${}U={\left\{s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und

${}V={\left\{p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${}U\cap V$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die drei Ebenen ${}E,F,G$ im ${}\mathbb {Q} ^{3}$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

1. ${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-4y+3z=2\right\}}\,,$

2. ${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 7x-5y+6z=3\right\}}\,,$

3. ${}G={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 2x-y+4z=5\right\}}\,.$

Bestimme sämtliche Punkte ${}E\cap F\setminus E\cap F\cap G$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,0),\,\,(0,1,2)\,{\text{ und }}\,(2,3,4)$

liegen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ${}U={\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y\geq 0\,,$

${}x+y\leq 1\,,$

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}a_{1}x+b_{1}y\geq c_{1}\,,$

${}a_{2}x+b_{2}y\geq c_{2}\,,$

${}a_{3}x+b3y\geq c_{3}\,,$

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung ${}\geq$ durch ${}\leq$ ersetzt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{4}$ die Untervektorräume

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\2\end{pmatrix}}\rangle \,$

und

${}W=\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\2\\-1\\10\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Zeige ${}U=W$.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}2&-7&8\\5&9&-3\end{pmatrix}}\,$

und

${}c={\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems ${}Mv=0$.
2. Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems ${}Mv=c$ mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}-2x+9y=5\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die beiden Ebenen

$E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x+4y+5z=2\right\}}{\text{ und }}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x-y+3z=-1\right\}}.$

Bestimme die Schnittgerade ${}E\cap F$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,2),\,\,(4,-3,2)\,{\text{ und }}\,(2,1,-1)$

liegen.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y+x\geq 0\,,$

${}-1-y\leq -x\,,$

${}5y-2x\geq 3\,,$

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.