Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 23/kontrolle

In den folgenden Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen ${}G\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ (bis auf Konjugation) und die zugehörigen Invariantenringe ${}K[U,V]^{G}$ bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren (also die Bahnenräume) nennt man ADE-Singularitäten. Von Singularitäten spricht man, da diese Invariantenringe keine Polynomringe sind, also nicht „regulär“ sind. Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Eine Liste von Untergruppen der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$

Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist.

Beispiel Beispiel 23.1 ändern

Die zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$ lässt sich einfach als eine Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ realisieren. Dazu sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise ${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$. Die von

${}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,$

erzeugte Untergruppe, also

${}{\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,,$

ist eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$. Diese Untergruppe wird mit ${}Z_{n}$ bezeichnet.

Beispiel Beispiel 23.2 ändern

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta$ eine ${}2n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise

${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{2n}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{n}}\,.$

Die von den Matrizen

$A=A_{2n}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}$

erzeugte Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ heißt die binäre Diedergruppe. Sie wird mit ${}BD_{n}$ bezeichnet. Das Element ${}A$ besitzt die Ordnung ${}2n$ und es ist

${}A^{n}={\begin{pmatrix}\zeta ^{n}&0\\0&\zeta ^{-n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=B^{2}\,.$

Insbesondere besitzt ${}B$ die Ordnung ${}4$. Es ist

${}BA={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\zeta ^{-1}\\{\mathrm {i} }\zeta &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta ^{-1}&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}=A^{2n-1}B\,.$

Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als

$A^{i}B^{j}{\text{ mit }}0\leq i\leq 2n-1,\,0\leq j\leq 1,$

schreiben. Da ${}B$ nicht zu der von ${}A$ erzeugten Untergruppe gehört und (bei ${}n\geq 2$) umgekehrt, ist diese Darstellung bei ${}n\geq 2$ eindeutig und ${}BD_{n}$ besitzt genau ${}4n$ Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung ${}Z_{2n}\subseteq BD_{n}$ vom Index ${}2$ vor.

Beispiel Beispiel 23.3 ändern

Die Matrizen

$A=A_{8}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\text{ und }}C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}},$

wobei ${}\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Die Ordnungen dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist

${}A^{4}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=B^{2}\,,$

also besitzt ${}A$ die Ordnung ${}8$ und ${}B$ die Ordnung ${}4$. Mit

${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{8}}=e^{\frac {\pi {\mathrm {i} }}{4}}={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}C^{3}&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{3}+\zeta ^{5}&\zeta ^{5}+\zeta ^{3}+\zeta ^{7}+\zeta \\\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{3}+\zeta ^{5}+\zeta ^{5}+\zeta ^{3}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

sodass die Ordnung von ${}C$ gleich ${}6$ ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als ${}A^{i}B^{j}C^{k}$ schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit ${}A$ oder ${}B$ rechterhand multipliziert. Es ist

${}{\begin{aligned}CA&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\zeta ^{6}\\\zeta ^{6}&1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\\-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta +\zeta ^{7}&\zeta ^{5}+\zeta ^{7}\\\zeta ^{7}+\zeta ^{5}&\zeta ^{7}+\zeta \end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{6}\\1+\zeta ^{6}&1+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{6}+\zeta ^{4}&\zeta ^{6}+1\\\zeta ^{4}+\zeta ^{6}&\zeta ^{4}+\zeta ^{2}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}^{2}\\&=ABC^{2},\end{aligned}}$

man kann also ${}A$ von rechts an ${}C$ vorbeischieben. Wegen

${}{\begin{aligned}CB&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta &\zeta \\\zeta ^{3}&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&0\\0&-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}\\&=A^{2}C\end{aligned}}$

kann man ${}B$ von rechts an ${}C$ vorbeischieben. Wegen

${}{\begin{aligned}BA&={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&\zeta \\\zeta ^{3}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&0\\0&\zeta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}}^{7}{\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\\&=A^{7}B\end{aligned}}$

kann man ${}B$ von rechts an ${}A$ vorbeischieben. Wegen

${}C^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=A^{4}=B^{2}\,$

kann man sogar jedes Gruppenelement als

$A^{i}B^{j}C^{k}{\text{ mit }}0\leq i\leq 7,\,0\leq j\leq 1,\,0\leq k\leq 2,\,$

schreiben.

Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte ${}A^{i}B^{j}$ mit ${}0\leq i\leq 7,\,0\leq j\leq 1,$ bilden nach Beispiel 23.2 die binäre Diedergruppe ${}BD_{4}$ der Ordnung ${}16$, dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung ${}16$ aber auch eine Untergruppe der Ordnung ${}3$ (die von ${}C^{2}$ erzeugte Untergruppe), also muss ihre Ordnung ${}48$ sein (und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben). Es handelt sich also um eine Gruppe mit ${}48$ Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit ${}BO$ bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung

${}Z_{8}\subseteq BD_{4}\subseteq BO\,$

vor.

Beispiel Beispiel 23.4 ändern

Es seien

$A={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{7}\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}{\text{ und }}C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}},$

wobei ${}\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der binären Oktaedergruppe ${}BO$. Die darin von ${}A^{2},B,C$ erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen ${}A^{2i}B^{j}C^{k}$ mit ${}0\leq i\leq 3,\,0\leq j\leq 1,\,0\leq k\leq 2$, wie ähnliche Berechnungen wie die aus Beispiel 23.3 zeigen, und besitzt demnach ${}24$ Elemente. Diese Gruppe nennt man die binäre Tetraedergruppe, sie wird mit ${}BT$ bezeichnet.

Beispiel Beispiel 23.5 ändern

Es sei ${}\xi$ eine primitive ${}5$-te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen

$E=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}.$

Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ heißt die binäre Ikosaedergruppe. Es ist

${}E^{5}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$

und somit besitzt ${}E$ die Ordnung ${}10$. Wegen

${}{\begin{aligned}F^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}\xi ^{2}+\xi ^{3}-2+\xi ^{4}+\xi -2&0\\0&\xi ^{4}+\xi -2+\xi ^{2}+\xi ^{3}-2\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

besitzt ${}F$ die Ordnung ${}4$. Ferner ist

${}{\begin{aligned}EF&=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}\\&=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Dabei ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

und (unter Verwendung von ${}\xi ^{2}+\xi ^{3}=-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$)

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}2\xi ^{4}+\xi ^{3}-\xi -2&-2\xi ^{4}+2\xi ^{2}-\xi +1\\\xi ^{4}-2\xi ^{3}+2\xi -1&-\xi ^{4}+\xi ^{2}+2\xi -2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\xi ^{4}+\xi ^{2}&1-\xi \\\xi ^{4}-1&\xi ^{3}-\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi &0\\0&5\xi ^{4}-5\xi ^{3}-5\xi ^{2}+5\xi \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}&0\\0&-5-10{\left(\xi ^{3}+\xi ^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5{\sqrt {5}}&0\\0&5{\sqrt {5}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

also ist

${}(EF)^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$

und die Ordnung von ${}EF$ ist ${}6$. Diese Gruppe besitzt ${}120$ Elemente und heißt die binäre Ikosaedergruppe, sie wird mit ${}BI$ bezeichnet.

Untergruppen der speziellen unitären Gruppe

In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sind die (erzeugenden) Matrizen von der Form

${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}},$

d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ ist durch

${}\left\langle w,z\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z_{i}}}\,$

definiert. Eine lineare Abbildung ${}f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ heißt unitär, wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also

${}\left\langle f(w),f(z)\right\rangle =\left\langle w,z\right\rangle \,$

für alle ${}w,z\in {\mathbb {C} }^{n}$ gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen.

Definition Referenznummer erstellen

Der ${}{\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen ${}f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit ${}\operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.

Definition Referenznummer erstellen

Der ${}{\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen ${}f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ mit Determinante ${}1$ bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit ${}\operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.

Lemma Lemma 23.8 ändern

Jede endliche Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$

ist zu einer Untergruppe der ${}\operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ konjugiert.

Beweis

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$. Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe

${}G\subseteq \operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,$

ein neues Skalarprodukt auf ${}{\mathbb {C} }^{n}$, nämlich

${}\Phi (w,z):={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma w,\sigma z\right\rangle \,.$

Nach Aufgabe 23.6 handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement ${}\tau \in G$ ist ferner

${}\Phi (\tau w,\tau z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma \tau w,\sigma \tau z\right\rangle ={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma w,\sigma z\right\rangle =\Phi (w,z)\,,$

da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu ${}G$ gehörenden linearen Abbildungen sind also unitär bezüglich ${}\Phi$. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}{\mathbb {C} }^{n}$ bezüglich ${}\Phi$ und sei ${}M$ die Matrix, deren Spalten die ${}u_{i}$ sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe

${}H:=M^{-1}GM\,,$

also

${}H={\left\{M^{-1}\sigma M\mid \sigma \in G\right\}}\,.$

Dabei gilt die Beziehung

${}\left\langle w,z\right\rangle =\Phi (Mw,Mz)\,,$

da dies für die Standardbasis git. Für ${}\tau \in H$ und ${}w,z\in {\mathbb {C} }^{n}$ gilt

${}{\begin{aligned}\left\langle \tau w,\tau z\right\rangle &=\left\langle M^{-1}\sigma Mw,M^{-1}\sigma Mz\right\rangle \\&=\Phi (\sigma Mw,\sigma Mz)\\&=\Phi (Mw,Mz)\\&=\left\langle w,z\right\rangle ,\end{aligned}}$

d.h. ${}H$ ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen

${}\tau =M^{-1}\sigma M\,$

und ${}\sigma \in \operatorname {SL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ besitzt auch ${}\tau$ die Determinante ${}1$, und daher ist ${}H\subseteq \operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$.

$\Box$

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