Kurs:Körper- und Galoistheorie/19/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	$\sum$
Punkte	3	3	0	3	2	5	3	4	4	3	0	11	0	4	0	0	45

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring $R$.
2. Ein Algebrahomomorphismus $\phi :R\to S$ zwischen $K$-Algebren $R$ und $S$.
3. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
4. Eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$ eines Körpers $K$, der eine primitive $m$-te Einheitswurzel enthält.
5. Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe $G$.
6. Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$. 

Lösung

1. Ein Ideal $𝔞$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form

   $𝔞=(a)=Ra=\{ra\mid r\in R\}$

   heißt Hauptideal.

2. Man nennt einen Ringhomomorphismus

   $\phi :R⟶S$

   einen $K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\to R$ und $K\to S$ verträglich ist.

3. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller $K$-Algebra-Automorphismen von $L$, also

   ${\mathrm{Aut}}_K(L).$

4. Eine Galoiserweiterung  $K\subseteq L$  heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von $m$ ist.
5. Die $i$-te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch

   $K^0(G)=G\text{ und }{K}^i(G)=K(K^{i-1}(G))$

   definiert.

6. Man sagt, dass die Familie $f_1,\dots ,f_n\in L$ eine Transzendenzbasis von $L$ über $K$ ist, wenn die $f_1,\dots ,f_n$ algebraisch unabhängig sind und  $K(f_1,\dots ,f_n)\subseteq L$  eine algebraische Körpererweiterung ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Isomorphiesatz für Gruppen.
2. Der Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
3. /Fakt/Name

Lösung

1. Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

   $\phi :G⟶H$

   ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

   $\tilde{\phi }:G/\mathrm{kern}\phi ⟶H.$

2. Sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann ist

   $\mathrm{\#}(\mathrm{Gal}(L/K))\le {\mathrm{grad}}_{K}L.$

3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass

$z=\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^3+3X+2$

ist.

Lösung

Es ist

$\begin{array}{cc}& {(\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}})}^3+3(\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}})+2\\ & =-1+\sqrt{2}+3{\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}}^2\cdot \sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}+3\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}\cdot {\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}}^2-1-\sqrt{2}+3\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+3\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}}+2\\ & =3(\sqrt[3]{{(-1+\sqrt{2})}^2(-1-\sqrt{2})}+\sqrt[3]{(-1+\sqrt{2}){(-1-\sqrt{2})}^2}+\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}})\\ & =3(\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})}+\sqrt[3]{(-1+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}})\\ & =3(\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{2}})\\ & =3(\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}-\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}-\sqrt[3]{1+\sqrt{2}})\\ & =0.\end{array}$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in $K$ besitzt.

Lösung

In einer echten Primfaktorzerlegung von $P$, $\mathrm{grad}(P)\le 3$, muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom $X-a$ teilt aber nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) das Polynom $P$ genau dann, wenn  $P(a)=0$  ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und  $p\ne 0$  ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

1. $p$ ist ein Primelement.
2. $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. $R/(p)$ ist ein Körper.

Lösung

Die Äquivalenz (1) $\iff$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für $p=0$), siehe Aufgabe 7.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei  $a\in R/(p)$  von $0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in $R$ ebenfalls mit $a$. Es ist dann  $a\notin (p)$  und es ergibt sich eine echte Idealinklusion  $(p)\subset (a,p)$.  Ferner können wir  $(a,p)=(b)$  schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt  $p=cb$.  Da $c$ keine Einheit ist und $p$ prim (also nach Lemma 3.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch irreduzibel) ist, muss $b$ eine Einheit sein. Es ist also  $(a,p)=(1)$,  und das bedeutet modulo $p$, also in $R/(p)$, dass $a$ eine Einheit ist. Also ist $R/(p)$ ein Körper.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und  $x\in {(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }$  eine Einheit. Es sei $a$ die Ordnung von $x$ in der additiven Gruppe $(\mathbb{Z}/(p),+,0)$ und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe $({(\mathbb{Z}/(p))}^{\times },\cdot ,1)$. Zeige, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind.

Lösung

Da $x$ eine Einheit ist, gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit $nx=1modp$. Damit durchlaufen die Vielfachen von $x$ die ganze Gruppe $\mathbb{Z}/(p)$, d.h. $x$ ist ein (additiver) Erzeuger dieser Gruppe. Damit ist die additive Ordnung von $x$ genau $p$. Da die Einheitengruppe $p-1$ Elemente besitzt, ist die multiplikative Ordnung von $x$ kleiner als $p$. Damit sind die beiden Ordnungen teilerfremd.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.

Lösung

Es sei  $F=P_1\cdots P_r$  die Zerlegung in Primpolynome in $K[X]$, und sei $P_1$ nicht linear. Dann ist

$K⟶K[Y]/(P_1(Y))=:K^{\prime }$

eine Körpererweiterung von $K$ nach Satz 7.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)). Wegen  $P_1(Y)=0$  in $K^{\prime }$ ist die Restklasse $y$ von $Y$ in $K^{\prime }$ eine Nullstelle von $P_1$. Daher gilt nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) in $K^{\prime }[X]$ die Faktorisierung  $P_1=(X-y)\tilde{P}$,  wobei $\tilde{P}$ einen kleineren Grad als $P_1$ hat. Das Polynom $F$ hat also über $K^{\prime }$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über $K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen  $K\subset K^{\prime }\subset K^{\prime \prime }\subset \dots$,  die stationär wird, sobald $F$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $z\in ℝ$  derart, dass es ein Polynom  $P\ne 0$  mit rationalen Koeffizienten und mit

$P(z)=0$

gibt. Zeige, dass man

$z=\frac{u}{v}$

schreiben kann, wobei $v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu $u$ ein normiertes Polynom $Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

$Q(u)=0$

gibt.

Lösung

Es sei

$P=c_n{X}^n+\cdots +c_2{X}^2+c_{1}X+c_0$

mit  $c_i=\frac{a_i}{b_i}$,  $a_i,b_i\in \mathbb{Z}$,  $b_i>0$  und  $c_n\ne 0$.  Wir multiplizieren dieses Polynom mit $c_n^{-1}$ und können somit annehmen, dass $P$ normiert ist. Wir setzen

$b=b_0{b}_1\cdots b_{n-1}.$

Aus

$P(z)=z^n+c_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +c_2{z}^2+c_{1}z+c_0=0$

ergibt sich durch Multiplikation mit $b^n$ direkt

$\begin{array}{cc}0& =b^n(z^n+c_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +c_2{z}^2+c_{1}z+c_0)\\ & =b^n{z}^n+b^n{c}_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +b^n{c}_2{z}^2+b^n{c}_{1}z+b^n{c}_0\\ & =b^n{z}^n+b{c}_{n-1}{b}^{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +b^{n-2}{c}_2{b}^2{z}^2+b^{n-1}{c}_{1}bz+b^n{c}_0\\ & =(bz{)}^n+b{c}_{n-1}(bz{)}^{n-1}+\cdots +b^{n-2}{c}_2(bz{)}^2+b^{n-1}{c}_1(bz)+b^n{c}_0.\end{array}$

Dies bedeutet, dass $bz$ eine Nullstelle des Polynoms

$Q=X^n+b{c}_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +b^{n-2}{c}_2{X}^2+b^{n-1}{c}_{1}X+b^n{c}_0$

ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen

$b^{n-i}{c}_i={(b_0{b}_1\cdots b_{n-1})}^{n-i}\frac{a_i}{b_i}$

ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist

$z=\frac{bz}{b}$

mit $b\in \mathbb{N}$ und der Zähler $bz$ ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die Körpererweiterung  $ℝ\subset ℂ$  als eine $\mathbb{Z}/(2)$-graduierte $ℝ$-Algebra.

Was ist die zugehörige Operation der Charaktergruppe und was besagt Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) in dieser Situation?

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (11 Punkte)

Beweise den Satz über die Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome.

Lösung

 Nehmen wir an, dass ${\mathrm{\Phi }}_n$ nicht irreduzibel über $\mathbb{Q}$ ist. Dann gibt es nach Lemma 18.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Zerlegung  ${\mathrm{\Phi }}_n=FG$  mit normierten Polynomen $F,G\in \mathbb{Z}[X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome  ${\mathrm{\Phi }}_n(\zeta )=0$  und daher ist (ohne Einschränkung)  $F(\zeta )=0$.  Wir können annehmen, dass $F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von $\zeta$ ist.  Wir werden zeigen, dass jede primitive $n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von $F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen  $\mathrm{grad}(F)=\phi \left(n\right)=\mathrm{grad}({\mathrm{\Phi }}_n)$  im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als ${\zeta }^k$ mit einer zu $n$ teilerfremden Zahl $k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall ${\zeta }^p$ mit einer zu $n$ teilerfremden Primzahl $p$ zu betrachten, da sich jedes ${\zeta }^k$ sukzessive als $p$-Potenz von $\zeta$ erhalten lässt (wobei man $\zeta$ sukzessive durch ${\zeta }^p$ ersetzt und  $F\left({\zeta }^p\right)=0$  verwendet).  Nehmen wir also an, dass  $F\left({\zeta }^p\right)\ne 0$  ist. Dann muss  $G\left({\zeta }^p\right)=0$  sein. Daher ist $\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms $G(X^p)$ und daher gilt  $FH=G\left(X^p\right)$  mit $H\in \mathbb{Q}[X]$, da ja $F$ das Minimalpolynom von $\zeta$ ist. Wegen Aufgabe 18.11 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gehören die Koeffizienten von $H$ zu $\mathbb{Z}$. Wir betrachten nun die Polynome ${\Phi }_n,F,G,H$ modulo $p$, also als Polynome in $\mathbb{Z}/(p)[X]$, wobei wir dafür $\overline{{\Phi }_n},\bar{F}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik $p$ und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt

$\bar{G}(X^p)={(\bar{G}(X))}^p.$

Daher ist

$\bar{F}\bar{H}=\bar{G}(X^p)=(\bar{G}(X){)}^p.$

Es sei nun  $\mathbb{Z}/(p)\subseteq L$  der Zerfällungskörper von $X^n-1$ über $\mathbb{Z}/(p)$, sodass über $L$ insbesondere auch $\overline{{\mathrm{\Phi }}_n}$ und damit auch $\bar{F}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei $u\in L$ eine Nullstelle von $\bar{F}$. Dann ist $u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von $\bar{G}$. Wegen  $\overline{{\mathrm{\Phi }}_n}=\bar{F}\bar{G}$  ist dann $u$ eine mehrfache Nullstelle von $\overline{{\mathrm{\Phi }}_n}$. Damit besitzt auch $X^n-1$ eine mehrfache Nullstelle in $L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber  $(X^n-1{)}^{\prime }=(nmodp)X^{n-1}$  und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht $0$. Also erzeugt das Polynom $X^n-1$ und seine Ableitung das Einheitsideal, sodass es nach Aufgabe 11.29 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere explizit ausgehend von den beiden Startpunkten $(0,0)$ und $(1,0)$ die Tangente an die Standardparabel zur Stelle  $x=2$. 

Lösung

Die Standardparabel ist der Graph zur Funktion  $y=f(x)=x^2$,  sie hat an der Stelle $2$ den Wert $4$ und die Steigung der Tangente ist wegen

$f^{\prime }(x)=2x$

gleich $4$. Die Tangente geht also durch die Punkte $(2,4)$ und $(1,0)$. Der Punkt $(1,0)$ ist bereits vorgegeben. Wir erhalten die $x$-Achse und, indem wir den Kreis mit Mittelpunkt $(1,0)$ durch $(0,0)$ schlagen, auch den Punkt $(2,0)$ und ebenso den Punkt $(3,0)$. Mit Hilfe der Kreise um $(1,0)$ bzw. $(3,0)$ mit Radius $2$ erhalten wir die Schnittpunkte $(2,1)$ und $(2,-1)$ und damit die vertikale Gerade durch $(2,0)$. Auf dieser Geraden erhalten wir sukzessive die Punkte $(2,2)$, $(2,3)$ und schließlich $(2,4)$. Die Verbindungsgerade von $(1,0)$ und $(2,4)$ ist die gesuchte Tangente.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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