Kurs:Körper- und Galoistheorie/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 2 5 0 4 0 0 0 11 0 4 0 0 32




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring .
  2. Ein Algebrahomomorphismus zwischen -Algebren und .
  3. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
  4. Eine Kummererweiterung zum Exponenten eines Körpers , der eine primitive -te Einheitswurzel enthält.
  5. Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe .
  6. Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung .


Lösung

  1. Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

    heißt Hauptideal.

  2. Man nennt einen Ringhomomorphismus

    einen -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen und verträglich ist.

  3. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller -Algebra-Automorphismen von , also
  4. Eine Galoiserweiterung heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten , wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von ist.
  5. Die -te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch

    definiert.

  6. Man sagt, dass die Familie eine Transzendenzbasis von über ist, wenn die algebraisch unabhängig sind und eine algebraische Körpererweiterung ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Isomorphiesatz für Gruppen.
  2. Der Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
  3. /Fakt/Name


Lösung

  1. Seien und Gruppen und sei

    ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

  2. Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann ist
  3. /Fakt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle in besitzt.


Lösung

In einer echten Primfaktorzerlegung von , , muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom teilt aber nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) das Polynom genau dann, wenn ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.


Lösung

Die Äquivalenz (1) (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ), siehe Aufgabe 7.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), und (3) impliziert natürlich (2). Sei also (1) erfüllt und sei von verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ebenfalls mit . Es ist dann und es ergibt sich eine echte Idealinklusion . Ferner können wir schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt . Da keine Einheit ist und prim (also nach Lemma 3.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch irreduzibel) ist, muss eine Einheit sein. Es ist also , und das bedeutet modulo , also in , dass eine Einheit ist. Also ist ein Körper.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.


Lösung

Sei die Zerlegung in Primpolynome in , und sei nicht linear. Dann ist

eine Körpererweiterung von nach Satz 7.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)). Wegen in ist die Restklasse von in eine Nullstelle von . Daher gilt in die Faktorisierung , wobei einen kleineren Grad als hat. Das Polynom hat also über mindestens einen Linearfaktor mehr als über . Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen , die stationär wird, sobald in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (11 Punkte)

Beweise den Satz über die Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome.


Lösung

 Nehmen wir an, dass nicht irreduzibel über ist. Dann gibt es nach Lemma 18.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Zerlegung mit normierten Polynomen von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive -te Einheitswurzel . Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome und daher ist (ohne Einschränkung) . Wir können annehmen, dass irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von ist.  Wir werden zeigen, dass jede primitive -te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von ist. Dann folgt aus Gradgründen im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als mit einer zu teilerfremden Zahl schreiben. Es genügt dabei, den Fall mit einer zu teilerfremden Primzahl zu betrachten, da sich jedes sukzessive als -Potenz von erhalten lässt (wobei man sukzessive durch ersetzt und verwendet).  Nehmen wir also an, dass ist. Dann muss sein. Daher ist eine Nullstelle des Polynoms und daher gilt mit , da ja das Minimalpolynom von ist. Wegen Aufgabe 18.11 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gehören die Koeffizienten von zu . Wir betrachten nun die Polynome modulo , also als Polynome in , wobei wir dafür usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt

Daher ist

Sei nun der Zerfällungskörper von über , so dass über insbesondere auch und damit auch in Linearfaktoren zerfällt. Sei eine Nullstelle von . Dann ist wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von . Wegen ist dann eine mehrfache Nullstelle von . Damit besitzt auch eine mehrfache Nullstelle in . Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht . Also erzeugt das Polynom und seine Ableitung das Einheitsideal, so dass es nach Aufgabe 11.28 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere explizit ausgehend von den beiden Startpunkten und die Tangente an die Standardparabel zur Stelle .


Lösung

Die Standardparabel ist der Graph zur Funktion , sie hat an der Stelle den Wert und die Steigung der Tangente ist wegen

gleich . Die Tangente geht also durch die Punkte und . Der Punkt ist bereits vorgegeben. Wir erhalten die -Achse und, indem wir den Kreis mit Mittelpunkt durch schlagen, auch den Punkt und ebenso den Punkt . Mit Hilfe der Kreise um bzw. mit Radius erhalten wir die Schnittpunkte und und damit die vertikale Gerade durch . Auf dieser Geraden erhalten wir sukzessive die Punkte , und schließlich . Die Verbindungsgerade von und ist die gesuchte Tangente.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung