Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt

Anhang 7 - Separabler Abschluss

Lemma

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p>0$ und sei $F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom.

Dann gibt es ein irreduzibles und separables Polynom $G\in K[X]$ mit $F=G(X^{p^e})$ für ein geeignetes $e\in \mathbb{N}$.

Beweis

Da $F$ irreduzibel ist, ist der Grad von $F$ mindestens $1$. Es sei $e$ der maximale Exponent derart, dass man $F=G(X^{p^e})$ mit einem Polynom $G\in K[X]$ schreiben kann. Dies muss es geben, da $G$ nicht konstant ist und daher der Grad von $G(X^{p^e})$ mindestens so groß wie $p^e$ ist. Das Polynom $G$ ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von $F$ führt. Wegen der Maximalität von $e$ ist $G\in ̸K[X^p]$. Daher ist $G^{\prime }\ne 0$ und somit ist $G^{\prime }$ teilerfremd zum irreduziblen Polynom $G$. Also ist $G$ nach Lemma 12.2 separabel.

$◻$

Definition

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element $x\in L$ heißt separabel, wenn $x$ algebraisch über $K$ ist, und sein Minimalpolynom separabel ist.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Ein Element $x\in L$ heißt rein-inseparabel, wenn $x$ algebraisch ist und sein Minimalpolynom $F$ in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.

Ein Element $x\in L$, das zu $K$ gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja $X-x$. In Charakteristik $0$ sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik  $p>0$,  es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und  $x\in L$  ein über $K$ algebraisches Element.

Dann ist $x$ genau dann rein-inseparabel, wenn  $x^{p^e}\in K$  für ein  $e\in \mathbb{N}$  ist.

Beweis

Es sei $x^{p^e}=y\in K$. Dann ist $X^{p^e}-y=(X-x{)}^{p^e}\in K[X]$ ein Polynom, das $x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über $K(x)$ die einzige Nullstelle $x$, sodass dies auch für das Minimalpolynom von $x$ über $K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist $x$ rein-inseparabel.
Es sei nun $x$ rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$. Nach Lemma Anhang 6.1 gibt es ein irreduzibles separables Polynom $G\in K[X]$ und ein $e\in \mathbb{N}$ mit $F=G(X^{p^e})$. Es sei $d$ der Grad von $G$. Es sei $K\subseteq M$ der Zerfällungskörper von $G$ und $G=(X-a_1)\cdots (X-a_d)$ die Faktorzerlegung von $G$ über $M$. Wegen der Separabilität von $G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei $d>1$ hätte auch $F$ verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper $M\subseteq M^{\prime }$). Also ist $d=1$ und somit ist $F=X^{p^e}-y$ mit einem $y\in K$.

$◻$

Definition

Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt rein-inseparabel, wenn jedes Element $x\in L$ rein-inseparabel über $K$ ist.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und es sei  $x\in L$  ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über $K$ ist.

Dann ist  $x\in K$. 

Beweis

Es sei $F\in K[X]$ das Minimalpolynom von $x$. Dann besitzt $F$ wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt $F$ den Grad $1$ und somit ist $x\in K$.

$◻$

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung.

Dann gibt es einen Zwischenkörper

$K\subseteq S\subseteq L$

derart, dass  $K\subseteq S$  separabel und  $S\subseteq L$  rein-inseparabel ist.

Beweis

Endliche Körpererweiterung/Separabler Zwischenkörper/Fakt/Beweis

$◻$

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von $K$ in $L$) versteht man die Teilmenge $S\subseteq L$, die aus allen über $K$ separablen Elementen aus $L$ besteht.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und es sei $S$, $K\subseteq S\subseteq L$, der separable Abschluss von $K$ in $L$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. $S$ ist ein Körper.
2. Die Körpererweiterung  $K\subseteq S$  ist separabel.
3. Die über $K$ algebraischen Elemente aus $L$ sind rein-inseparabel über $S$.
4. Der separable Abschluss von $S$ in $L$ ist gleich $S$.

Beweis

(1). Für zwei Elemente  $x,y\in S$  ist $K[x,y](\subseteq L)$ eine nach Satz 8.6 über $K$ endliche und nach Satz 12.7 separable Körpererweiterung. Also ist  $K[x,y]\subseteq S$  und $S$ ist ein Unterring. Für  $x\ne 0$  ist auch  $x^{-1}\in K[x,y]$,  sodass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Es sei  $x\in L$  algebraisch über $K$ und sei $F$ das Minimalpolynom. Die Charakteristik von $K$ sei  $p>0$,  andernfalls ist die Aussage klar. Nach Lemma Anhang 6.1 besitzt $F$ die Gestalt

$F=G(X^q)$

mit  $q=p^e$  und einem irreduziblen separablen Polynom  $G\in K[X]$.  Für

$y=x^q$

ist $G$ ein separables annullierendes Polynom, sodass  $y\in S$  ist. Daher ist $x$ nach Lemma Anhang 6.4 rein-inseparabel über $S$ ist.
(4) folgt aus (3).

$◻$

Satz

Eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq L$  ist genau dann étale, wenn sie separabel ist.

Beweis

Es sei zunächst  $K\subseteq L$  separabel und  $x\in L$.  Das Minimalpolynom  $F\in K[X]$  von $x$ ist separabel, daher ist nach Lemma 12.2  $F^{\prime }(x)\ne 0$.  Somit folgt aus

$0=dF(x)=F^{\prime }(x)dx,$

dass

$dx=0$

ist.
Es sei nun umgekehrt  ${\mathrm{\Omega }}_{L/K}=0$  vorausgesetzt. Wir verwenden den separablen Abschluss  $K\subseteq S\subseteq L$  und müssen  $S=L$  zeigen.  Wir nehmen an, dass  $S\ne L$  ist. Dann gibt es eine Kette

$S\subseteq S(x_1)\subseteq S(x_1,x_2)\subseteq \dots \subseteq S(x_1,\dots ,x_n)=L,$

wobei wir  $M=S(x_1,\dots ,x_{n-1})\ne L$  annehmen können. Da  $S\subseteq L$  nach Lemma Anhang 6.8  (3) rein-inseparabel ist, ist nach Lemma Anhang 6.4 auch  $M\subseteq L=M(x_n)$  rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von $x_n$ über $M$ gleich $X^q-a$ mit  $a\in M$  und  $q=p^e$  mit  $e\ge 1$.  Also ist  $L=M[X]/(X^q-a)$  und daher ist

${\mathrm{\Omega }}_{L/M}\cong LdX/(X^q-a{)}^{\prime }dX\cong LdX\ne 0$

nach Fakt *****. Daher ist auch  ${\mathrm{\Omega }}_{L/K}\ne 0$  aufgrund von Fakt ***** im Widerspruch zur Voraussetzung.

$◻$

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