Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}X^{6}-1$ über den Körpern ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion ${}{\varphi (n)}$ für ${}n\leq 20$.

Man diskutiere dabei auch die Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes, siehe Anhang 4.

Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ für natürliche Zahlen ${}n,m$ die Eigenschaft

${}{\varphi (\operatorname {ggT} (m,n))}\cdot {\varphi (\operatorname {kgV} (m,n))}={\varphi (n)}\cdot {\varphi (m)}\,$

erfüllt.

Aufgabe *

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}n=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.$

Zeige, dass dann

${}{\varphi (n)}={\varphi (p_{1}^{r_{1}})}{\cdots }{\varphi (p_{k}^{r_{k}})}=(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}{\cdots }(p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ die Gleichheit

${}{\varphi (a^{n})}=a^{n-1}{\varphi (a)}\,$

für ${}n\geq 1$ erfüllt.

Aufgabe

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

${}{\varphi (n)}=n\cdot \prod _{p{|}n,\ p{\text{ prim}}}{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung

${}{\varphi (n)}\geq {\frac {\sqrt {n}}{2}}\,.$

Aufgabe

Bestimme für ${}n=1,2,\ldots ,10$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln ${}\zeta _{n}^{k}$, mit ${}\zeta _{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}$.

Aufgabe *

Schreibe den ${}5$-ten Kreisteilungskörper ${}K_{5}$ als quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$.

Aufgabe

Es sei ${}L$ der neunte Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$. Zeige

${}L\cap \mathbb {R} \cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$ und

${}L_{n}=K_{n}\cap \mathbb {R} \,.$

Zeige, dass bei ${}n\geq 3$ die Körpererweiterung ${}L_{n}\subseteq K_{n}$ den Grad ${}2$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ ungerade. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper mit dem ${}2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ für ${}n\leq 15$.

Aufgabe

Bestimme für ${}n\leq 12$, welche der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K_{n}$ zueinander konjugiert sind.

Aufgabe

Zeige, dass für ${}n\geq 2$ der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ immer ${}1$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ (in ${}{\mathbb {C} }$) der ${}n$-te Kreisteilungskörper und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente ${}\zeta ^{i}$, ${}i\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.

a) Zeige, dass für eine Primzahl ${}n=p$ diese Elemente eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$ bilden.

b) Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n=p^{2}$. Zeige, dass diese Elemente keine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$, ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.

1. Zeige, dass für jedes ${}k$ die (benachbarten) Einheitswurzeln

   $\zeta ^{k},\zeta ^{k+1},\ldots ,\zeta ^{k+{\varphi (n)}-1}$

   eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}K_{n}$.

2. Bilden die primitiven ${}n$-ten Einheitswurzeln stets eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$?

Aufgabe

Bestimme die Norm und die Spur der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln im ${}n$-ten Kreisteilungskörper.

Über einem beliebigen Körper ${}K$ werden Kreisteilungskörper folgendermaßen definiert.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}K$ ist der Zerfällungskörper des Polynoms

$X^{n}-1$

über ${}K$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 1$, eine Primzahlpotenz. Zeige, dass der ${}(q-1)$-te Kreisteilungskörper über ${}{\mathbb {F} }_{p}$ gleich ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ist.

Aufgabe

Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen ${}p$ und für ${}n=1,\ldots ,12$ angibt, welcher endliche Körper ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}{\mathbb {F} }_{p}$ ist.

(Man trage die Exponenten ${}e$ ein; es empfiehlt sich zur Probe, die Zeilen und Spalten unabhängig voneinander durchzurechnen.)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	1	1	2	1	4
3	1
5	1
7	1
11	1
13	1
17	1
19	1
23	1
29	1
31	1
37	1

Aufgabe

Es sei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom und es sei ${}p$ eine zu ${}n$ teilerfremde Primzahl. Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$, in dem es eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ gebe. Zeige, dass das Produkt

$\prod _{0<i<n,\,\,i,n\,{\rm {teilerfremd}}}(X-\zeta ^{i})$

zu ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ gehört und mit ${}\Phi _{n}\!\!\!\mod p$ übereinstimmt.

Aufgabe

Man lege eine Tabelle an, die für Primzahlen ${}p\leq 13$ zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ aussieht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge ${}{\frac {\varphi (n)}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, sowohl in ${}1$ als auch in ${}{\frac {1}{3}}$ einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom ${}X^{4}+1$ über allen endlichen Primkörpern ${}\mathbb {F} _{p}$ reduzibel ist.

Hinweis: Zeige, dass ${}{\mathbb {F} }_{p^{2}}$ für ${}p\neq 2$ bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n$ eine natürliche Zahl, die wir als ${}n=kp^{a}$ schreiben mit ${}k$ und ${}p$ teilerfremd. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}{\mathbb {F} }_{p}$ gleich ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ist (mit $q=p^{e}$), wobei ${}q$ die minimale echte Potenz von ${}p$ mit der Eigenschaft ist, dass ${}q-1$ ein Vielfaches von ${}k$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches ${}q$ gibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Tabelle, die für kleine ${}p$ und ${}n$ die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt.

p	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	1	1	2	1	4	2	3	1	6	4	10	2
3	1	1	1	2	4	1	6	2	1	4	5	2
5	1	1	2	1	1	2	6	2	6	1	5	2
7	1	1	1	2	4	1	1	2	3	4	10	2
11	1	1	2	2	1	2	3	2	6	1	1	2
13	1	1	1	1	4	1	2	2	3	4	10	1
17	1	1	2	1	4	2	6	1	2	4	10	2
19	1	1	1	2	2	1	6	2	1	2	10	2
23	1	1	2	2	4	2	3	2	6	4	1	2
29	1	1	2	1	2	2	1	2	6	2	10	2
31	1	1	1	2	1	1	6	2	3	1	5	2
37	1	1	1	1	4	1	3	2	1	4	5	1

Begründe die folgenden (mehr oder weniger sichtbaren) Eigenschaften der Tabelle.

a) Für jedes ${}n$ sind die Einträge in der ${}n$-ten Spalte ${}\leq \varphi (n)$.

b) Für jedes ${}p$ kommt in der ${}p$-ten Zeile die ${}1$ unendlich oft vor.

In der folgenden Aufgabe soll eine Eigenschaft bewiesen werden, die in der Tabelle über Kreisteilungspolynome modulo p sichtbar wurde.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom und es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass das Polynom ${}(\Phi _{n}\!\!\!\mod p)\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Produkt von irreduziblen Polynomen ist, die alle den gleichen Grad besitzen.

Tipp: Reduziere auf den Fall, wo ${}n$ und ${}p$ teilerfremd ist.