Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 19

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms über den Körpern und .


Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion für .

Man diskutiere dabei auch die Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes, siehe Anhang 4.

Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion für natürliche Zahlen die Eigenschaft

erfüllt.


Aufgabe *

Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe *

Sei . Zeige, dass die eulersche Funktion die Gleichheit

für erfüllt.


Aufgabe

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

gilt.


Aufgabe

Sei die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung


Aufgabe

Bestimme für die primitiven komplexen Einheitswurzeln , mit .


Aufgabe *

Schreibe den -ten Kreisteilungskörper als quadratische Körpererweiterung von .


Aufgabe

Es sei der neunte Kreisteilungskörper über . Zeige


Aufgabe *

Es sei der -te Kreisteilungskörper über und

Zeige, dass bei die Körpererweiterung den Grad besitzt.


Aufgabe

Es sei ungerade. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper mit dem -ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.


Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome für .


Aufgabe

Bestimme für , welche der -ten Einheitswurzeln in zueinander konjugiert sind.


Aufgabe

Zeige, dass für der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome immer ist.


Aufgabe *

Es sei (in ) der -te Kreisteilungskörper und sei eine -te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente , .

a) Zeige, dass für eine Primzahl diese Elemente eine -Basis von bilden.

b) Sei eine Primzahl und . Zeige, dass diese Elemente keine -Basis von bilden.


Aufgabe

Es sei , der -te Kreisteilungskörper und sei eine -te primitive Einheitswurzel.

  1. Zeige, dass für jedes die (benachbarten) Einheitswurzeln

    eine -Basis von .

  2. Bilden die primitiven -ten Einheitswurzeln stets eine -Basis von ?


Aufgabe

Bestimme die Norm und die Spur der -ten komplexen Einheitswurzeln im -ten Kreisteilungskörper.


Über einem beliebigen Körper werden Kreisteilungskörper folgendermaßen definiert.


Es sei ein Körper und . Der -te Kreisteilungskörper über ist der Zerfällungskörper des Polynoms

über .


Aufgabe

Sei eine Primzahl und , , eine Primzahlpotenz. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper über gleich ist.


Aufgabe

Erstelle eine Tabelle, die für die ersten zwölf Primzahlen und für angibt, welcher endliche Körper der -te Kreisteilungskörper über ist.

(Man trage die Exponenten ein; es empfiehlt sich zur Probe, die Zeilen und Spalten unabhängig voneinander durchzurechnen.)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 1 1 2 1 4
3 1
5 1
7 1
11 1
13 1
17 1
19 1
23 1
29 1
31 1
37 1

Aufgabe

Es sei das -te Kreisteilungspolynom und es sei eine zu teilerfremde Primzahl. Es sei ein Körper der Charakteristik , in dem es eine -te primitive Einheitswurzel gebe. Zeige, dass das Produkt

zu gehört und mit übereinstimmt.


Aufgabe

Man lege eine Tabelle an, die für Primzahlen zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in aussieht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom über allen endlichen Primkörpern reduzibel ist.

Hinweis: Zeige, dass für bereits eine primitive achte Einheitswurzel enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl, die wir als schreiben mit und teilerfremd. Zeige, dass der -te Kreisteilungskörper über gleich ist (mit ), wobei die minimale echte Potenz von mit der Eigenschaft ist, dass ein Vielfaches von ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches gibt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Kreisteilungskörper über .


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Tabelle, die für kleine und die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt.

p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 1 1 2 1 4 2 3 1 6 4 10 2
3 1 1 1 2 4 1 6 2 1 4 5 2
5 1 1 2 1 1 2 6 2 6 1 5 2
7 1 1 1 2 4 1 1 2 3 4 10 2
11 1 1 2 2 1 2 3 2 6 1 1 2
13 1 1 1 1 4 1 2 2 3 4 10 1
17 1 1 2 1 4 2 6 1 2 4 10 2
19 1 1 1 2 2 1 6 2 1 2 10 2
23 1 1 2 2 4 2 3 2 6 4 1 2
29 1 1 2 1 2 2 1 2 6 2 10 2
31 1 1 1 2 1 1 6 2 3 1 5 2
37 1 1 1 1 4 1 3 2 1 4 5 1

Begründe die folgenden (mehr oder weniger sichtbaren) Eigenschaften der Tabelle.

a) Für jedes sind die Einträge in der -ten Spalte .

b) Für jedes kommt in der -ten Zeile die unendlich oft vor.


In der folgenden Aufgabe soll eine Eigenschaft bewiesen werden, die in der Tabelle über Kreisteilungspolynome modulo p sichtbar wurde.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei das -te Kreisteilungspolynom und es sei eine Primzahl. Zeige, dass das Polynom das Produkt von irreduziblen Polynomen ist, die alle den gleichen Grad besitzen.

Tipp: Reduziere auf den Fall, wo und teilerfremd ist.


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