Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 19

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Kreisteilungskörper

Definition  

Der -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

über .

Offenbar ist eine Nullstelle von . Daher kann man durch teilen und erhält, wie man schnell nachrechnen kann,

Wegen ist daher der -te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von

Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber weitgehend auf die Kreisteilungskörper über , die wir auch mit bezeichnen. Da auf die in der zweiten Vorlesung beschriebenen Art über in Linearfaktoren zerfällt, kann man als Unterkörper von realisieren, und zwar ist der von allen -ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von . Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt.



Lemma  

Sei . Dann wird der -te Kreisteilungskörper über

von erzeugt.

Der -te Kreisteilungskörper ist also

Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eine einfache Körpererweiterung von .[1]

Beweis  

Es sei der -te Kreisteilungskörper über . Wegen ist . Wegen gehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu , also ist .


Statt kann man auch jede andere -te primitive Einheitswurzel aus als Erzeuger nehmen.


Beispiel  

Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine . Bei oder ist der Kreisteilungskörper gleich . Bei ist

und der zweite Faktor zerfällt

Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der von erzeugte Körper, es ist also eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen.

Bei ist natürlich

Der vierte Kreisteilungskörper ist somit , also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von .




Lemma  

Sei eine Primzahl.

Dann ist der -te Kreisteilungskörper gleich

Insbesondere besitzt der -te Kreisteilungskörper den Grad über .

Beweis  

Der -te Kreisteilungskörper wird nach Lemma 19.2 von erzeugt, er ist also isomorph zu , wobei das Minimalpolynom von bezeichnet. Als Einheitswurzel ist eine Nullstelle von und wegen ist eine Nullstelle von . Das Polynom ist irreduzibel nach Aufgabe 18.19 und daher handelt es sich nach Lemma 7.12  (2) um das Minimalpolynom von .


Kreis5Teilung.svg

Beispiel  

Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl erzeugt. Er hat aufgrund von Lemma 19.4 die Gestalt

wobei die Variable als (oder eine andere primitive Einheitswurzel) zu interpretieren ist. Sei und setze . Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist

Es ist also (die positive Wurzel) und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen


Weiter unten werden wir für jedes die Minimalpolynome der primitiven -ten Einheitswurzeln bestimmen.



Die Eulersche Funktion

Zur Bestimmung der Galoisgruppe des -ten Kreisteilungskörpers sind die Einheiten im Restklassenring entscheidend.


Definition  

Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.

Die Zahl gibt also an, wie viele natürliche Zahlen , , teilerfremd zu sind. In einem Körper, in dem es überhaupt eine -te primitive Einheitswurzel gibt, gibt es genau primitive Einheitswurzeln, da dann die Gruppe der -ten Einheitswurzeln isomorph zur zyklischen Gruppe der Ordnung ist. Für eine Primzahl ist .



Lemma

Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

(die seien also verschieden und ).

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe 19.4.




Kreisteilungspolynome

Definition  

Sei und seien die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

das -te Kreisteilungspolynom.

Nach Konstruktion hat das -te Kreisteilungspolynom den Grad .



Lemma  

Sei .

Dann gilt in die Gleichung

Beweis  

Jede der verschiedenen -ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung , die ein Teiler von ist. Eine -te Einheitswurzel der Ordnung ist eine primitive -te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus




Lemma  

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in .

Beweis  

Induktion über . Für ist . Für beliebiges betrachten wir die in Lemma 19.9 bewiesene Darstellung

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in . Daraus folgt mit Aufgabe 18.11, dass auch Koeffizienten in besitzt.


Grundlegend ist die folgende Aussage.



Satz  

Die Kreisteilungspolynome sind irreduzibel über .

Beweis  

 Nehmen wir an, dass nicht irreduzibel über ist. Dann gibt es nach Lemma 18.7 eine Zerlegung mit normierten Polynomen von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive -te Einheitswurzel . Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome und daher ist (ohne Einschränkung) . Wir können annehmen, dass irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von ist.  Wir werden zeigen, dass jede primitive -te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von ist. Dann folgt aus Gradgründen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} \operatorname{grad} \, (F) = {\varphi (n)} = \operatorname{grad} \, ({{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex |#default=\Phi_{} }})} im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als mit einer zu teilerfremden Zahl schreiben. Es genügt dabei, den Fall mit einer zu teilerfremden Primzahl zu betrachten, da sich jedes sukzessive als -Potenz von erhalten lässt (wobei man sukzessive durch ersetzt und verwendet).  Nehmen wir also an, dass ist. Dann muss sein. Daher ist eine Nullstelle des Polynoms und daher gilt mit , da ja das Minimalpolynom von ist. Wegen Aufgabe 18.11 gehören die Koeffizienten von zu . Wir betrachten nun die Polynome modulo , also als Polynome in , wobei wir dafür usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt

Daher ist

Sei nun der Zerfällungskörper von über , so dass über insbesondere auch und damit auch in Linearfaktoren zerfällt. Sei eine Nullstelle von . Dann ist wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von . Wegen ist dann eine mehrfache Nullstelle von . Damit besitzt auch eine mehrfache Nullstelle in . Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht . Also erzeugt das Polynom und seine Ableitung das Einheitsideal, so dass es nach Aufgabe 11.28 keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.




Korollar  

Der -te Kreisteilungskörper über hat die Beschreibung

wobei das -te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des -ten Kreisteilungskörpers ist .

Beweis  

Es ist , wobei eine primitive -te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist und nach Satz 19.11 ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, so dass es sich um das Minimalpolynom von handeln muss. Also ist nach Satz 7.11 .

Das im vorstehenden Beweis verwendete Beweisverfahren nennt man Reduktion zu positiver Charakteristik.



Fußnoten
  1. Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element.


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