Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 18

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei $\phi \in \mathrm{Gal}(L/K)$ ein $K$-Automorphismus. Es sei $\lambda$ ein Eigenwert von $\phi$. Zeige, dass $\lambda$ eine Einheitswurzel ist.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei $\delta \in G^{\vee }$ ein Charakter auf der Galoisgruppe $G=\mathrm{Gal}(L/K)$. Man mache sich die Gleichheit

$L_{\delta }=\{x\in L\mid \phi (x)=\delta (\phi )\cdot x\text{ für alle }\phi \in G\}=\bigcap _{\phi \in G}{\mathrm{Eig}}_{\delta (\phi )}\left(\phi \right)$

klar.

Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${𝔽}_{125}$.

Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${𝔽}_{p^p}$.

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung  $\mathbb{Z}/(13)\subseteq {𝔽}_{2197}$  eine Kummererweiterung zum Exponenten $3$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen Körperautomorphismen in Beispiel 17.9 bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und  $K\subseteq L$  eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te primitive Einheitswurzel, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei. Zeige, dass es ein Element $v\in L$ derart gibt, dass die Menge

$\{\phi (v)\mid \phi \in \mathrm{Gal}(L/K)\}$

eine $K$-Basis von $L$ bildet.

Aufgabe *

Es sei $D=\mathbb{Z}/(n)$ und sei $K$ ein Körper, der eine $n$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ enthält. Es sei $L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung von $K$. Beschreibe die Matrizen der $K$-Algebraautomorphismen auf $L$ (also die Elemente der Galoisgruppe $\mathrm{Gal}(L/K)$) bezüglich einer geeigneten $K$-Basis von $L$.

Aufgabe *

1. Bestimme den Zerfällungskörper $L$ zum Polynom  $X^4-7\in \mathbb{Q}[X]$. 
2. Was ist der Grad  $\mathbb{Q}\subseteq L$? 
3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
5. Ist die Galoisgruppe $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ abelsch?
6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?

Aufgabe

Es sei ${\zeta }_n\in ℂ$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel, und  $K=\mathbb{Q}[{\zeta }_n]$  der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es galoissche Körpererweiterungen  $K\subseteq L$  gibt, deren Galoisgruppe zyklisch der Ordnung $n$ ist.

Aufgabe

Es seien $F,G\in \mathbb{Z}[X]$ normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass $F=GH$ ist mit $H\in \mathbb{Q}[X]$. Zeige, dass $H\in \mathbb{Z}[X]$ ist.

Aufgabe

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms $P\in \mathbb{Q}[X]$, wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Satz 17.9, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.

Aufgabe

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.

Aufgabe

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus $\mathbb{Q}[X]$ nachzuweisen.

1. $X^4+2X^2+2$,
2. $20X^5-15X^4+125X^3-10X+4$,
3. $X^4+9$.

Aufgabe

Zeige mithilfe des verschobenen Eisensteinkriteriums, dass das Polynom $X^3-3X-1$ irreduzibel in $\mathbb{Q}[X]$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom $X^3+2X^2-5$ in $\mathbb{Q}[X]$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom der Form $X^n-p^2\in \mathbb{Q}[X]$ mit einer Primzahl $p$ im Allgemeinen nicht irreduzibel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass die Polynome $X^n-p\in \mathbb{Q}[X]$ für jedes  $n\ge 1$  irreduzibel sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl. Betrachte das Polynom

$P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1.$

Zeige, dass $P$ irreduzibel in $\mathbb{Q}[X]$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Polynom

$P=x^6-5x^5+11x^4-13x^3+9x^2-3x+1.$

Zeige, dass $P$ irreduzibel in $\mathbb{Q}[X]$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in $\mathbb{Q}[x,y]$ irreduzibel sind.

a) $y^4+3x^2{y}^2+4x^{7}y+2x$.

b) $y^6+3x{y}^4+3x^2{y}^2+x^3$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${𝔽}_{343}$.