Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 18

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei ein -Automorphismus. Es sei ein Eigenwert von . Zeige, dass eine Einheitswurzel ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei ein Charakter auf der Galoisgruppe . Man mache sich die Gleichheit

klar.


Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf .


Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf .


Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung eine Kummererweiterung zum Exponenten ist.


Aufgabe

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen Körperautomorphismen in Beispiel 17.9 bezüglich einer geeigneten Basis.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte Körpererweiterung. Der Körper enthalte eine -te primitive Einheitswurzel, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass es ein Element derart gibt, dass die Menge

eine -Basis von bildet.


Aufgabe *

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine -graduierte Körpererweiterung von . Beschreibe die Matrizen der -Algebraautomorphismen auf (also die Elemente der Galoisgruppe ) bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe *

  1. Bestimme den Zerfällungskörper zum Polynom .
  2. Was ist der Grad ?
  3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
  4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
  5. Ist die Galoisgruppe abelsch?
  6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?


Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel, und der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es galoissche Körpererweiterungen gibt, deren Galoisgruppe zyklisch der Ordnung ist.


Aufgabe

Es seien normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass ist mit . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms , wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.


Aufgabe

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.


Aufgabe

Wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus nachzuweisen.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Zeige mit Hilfe des verschobenen Eisensteinkriteriums, dass das Polynom irreduzibel in ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Polynom in irreduzibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom der Form mit einer Primzahl im Allgemeinen nicht irreduzibel ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass die Polynome für jedes irreduzibel sind.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Betrachte das Polynom

Zeige, dass irreduzibel in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Polynom

Zeige, dass irreduzibel in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in irreduzibel sind.

a) .

b) .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf .



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