Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 4/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Aufgabe 4.1 ändern

Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass und für jedes ist.


Aufgabe * Aufgabe 4.2 ändern

Es sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

entsprechen.


Aufgabe Aufgabe 4.3 ändern

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung

ein Gruppenisomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, . Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens

Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass durch und eine Bijektion zwischen den Untergruppen von und denjenigen Untergruppen von , die umfassen, gegeben ist.


Aufgabe * Aufgabe 4.8 ändern

Es sei eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

alle verschieden sind.


Wichtige Beispiele für im Allgemeinen nicht kommutative Gruppen werden durch die allgemeine lineare Gruppe gegeben, also die Menge der invertierbaren linearen Abbildungen auf einem - Vektorraum mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an, derart, dass die Ordnung von gleich ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe eine Matrix der Ordnung an.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum . Zeige, dass genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von ein Teiler von für ein ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper mit positiver Charakteristik . Zeige, dass die Matrix

die endliche Ordnung besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare - Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. ().
  5. .
  6. ().

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .

Was ist der Kern dieser Abbildung?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildung

die einer Permutation auf ihre Permutationsmatrix zuordnet, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Matrix

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei . Zeige, dass die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in und die Gruppe isomorph sind.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an (dabei sei geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement gilt . Zeige, dass die Gruppe dann abelsch ist.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe eine Matrix der Ordnung an.