Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Aufgabe 4.1 ändern
Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass und für jedes ist.
Aufgabe * Aufgabe 4.2 ändern
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz
entsprechen.
Aufgabe Aufgabe 4.3 ändern
Seien und Gruppen und sei
ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, . Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens
Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass durch und eine Bijektion zwischen den Untergruppen von und denjenigen Untergruppen von , die umfassen, gegeben ist.
Aufgabe * Aufgabe 4.8 ändern
Es sei eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen
alle verschieden sind.
Wichtige Beispiele für im Allgemeinen nicht kommutative Gruppen werden durch die
allgemeine lineare Gruppe
gegeben, also die Menge der invertierbaren linearen Abbildungen auf einem
-
Vektorraum
mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an, derart, dass die Ordnung von gleich ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man gebe eine Matrix der Ordnung an.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum . Zeige, dass genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von ein Teiler von für ein ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper mit positiver Charakteristik . Zeige, dass die Matrix
die endliche Ordnung besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare - Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.
- .
- .
- .
- ().
- .
- ().
Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .
Was ist der Kern dieser Abbildung?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Abbildung
die einer Permutation auf ihre Permutationsmatrix zuordnet, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass
ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die Matrix
Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei . Zeige, dass die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in und die Gruppe isomorph sind.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an (dabei sei geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement gilt . Zeige, dass die Gruppe dann abelsch ist.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe eine Matrix der Ordnung an.