Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 4

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass und für jedes ist.


Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

entsprechen.


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung

ein Gruppenisomorphismus ist.


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.


Aufgabe

Sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, . Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens

Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?


Aufgabe

Es sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass durch und eine Bijektion zwischen den Untergruppen von und denjenigen Untergruppen von , die umfassen, gegeben ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

alle verschieden sind.


Wichtige Beispiele für im Allgemeinen nicht kommutative Gruppen werden durch die allgemeine lineare Gruppe gegeben, also die Menge der invertierbaren linearen Abbildungen auf einem -Vektorraum mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung.

Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an, derart, dass die Ordnung von gleich ist.


Aufgabe *

Man gebe eine Matrix der Ordnung an.


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige, dass genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von ein Teiler von für ein ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper mit positiver Charakteristik . Zeige, dass die Matrix

die endliche Ordnung besitzt.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare -Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.


Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. ().
  5. .
  6. ().

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?


Aufgabe *

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .

Was ist der Kern dieser Abbildung?

Aufgabe *

Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen .


Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

die einer Permutation auf ihre Permutationsmatrix zuordnet, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Matrix

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei . Zeige, dass die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in und die Gruppe isomorph sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an (dabei sei geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement gilt . Zeige, dass die Gruppe dann abelsch ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine Matrix der Ordnung an.


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