Lösung
- Das
Standardskalarprodukt
auf dem ist durch
-
gegeben.
- Unter der
Hypotenuse
versteht man die Seite eines
rechtwinkligen Dreiecks,
die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
- Eine
Gruppe
heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
- Die Äquivalenzklasse zu ist die Menge
-
- Eine Teilmenge heißt offen, wenn für jedes ein mit
-
existiert.
- Zu einem
-
Vektorraum
über einem
Körper
und einer
Körpererweiterung
nennt man den
durch Körperwechsel gewonnenen
-Vektorraum.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
- Der
Satz des Thales.
- Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.
Lösung
- Jede eigentliche, lineare Isometrie
-
ist eine Drehung.
- Es sei ein Punkt in der euklidischen Ebene , der Kreis mit Radius und Mittelpunkt und es sei eine Gerade durch , die den Kreis in den Punkten
und
trifft. Dann ist für jeden Punkt das Dreieck rechtwinklig an .
- Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über . Dann gibt es eine natürliche Isomorphie
-
Lösung /Aufgabe/Lösung
Der sei mit der euklidischen Metrik versehen.
a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum
(mit der induzierten Metrik)
des , aber nicht als Teilraum von realisieren kann.
b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des realisieren kann.
Lösung
a) Wir betrachten den Teilraum
mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand , und diese haben zueinander den Abstand . In gibt es zu jedem Punkt genau zwei Punkte mit dem Abstand nämlich bzw , und diese haben aber zueinander den Abstand .
b) Wir betrachten im die folgende endliche Teilmenge: Es seien zwei Punkte im , die zueinander den Abstand besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius , also
und .
Der Durchschnitt ist eine Kreislinie . Es seien drei Punkte auf und wir betrachten die Teilmenge
-
mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand haben.
Lösung
Es ist
und
Lösung
Betrachte den Vektorraum aller
(geordneten, auch ausgearteten)
Dreiecke im , es geht also um die Menge aller Tupel . Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine
Norm?
Lösung Dreieck/Vektorraumstruktur/Umfang/Norm/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.
Lösung
Bezüglich einer
Orthogonalbasis
von
(die es nach
Fakt *****
gibt)
hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten Diagonaleinträge positiv, die folgenden Diagonaleinträge negativ und die übrigen seien. Auf dem -dimensionalen Unterraum
ist die eingeschränkte Bilinearform
positiv definit,
so dass
gilt.
Sei
,
auf diesem Unterraum ist die Bilinearform
negativ semidefinit.
Dabei ist
,
und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.
Angenommen, es gebe einen Unterraum , auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension größer als ist. Die Dimension von ist und daher ist
nach
Fakt *****.
Für einen Vektor
, ,
ergibt sich aber direkt der Widerspruch
und
.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Lösung
Lösung Achsenkreuz/Eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Bestimme eine Formel für die Potenzen
-
Lösung
Es ist