Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 5 2 3 5 0 0 6 0 3 4 3 0 5 42




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Standardskalarprodukt auf dem .
  2. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
  3. Eine zyklische Gruppe .
  4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element in einer Menge mit einer Äquivalenzrelation .
  5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  6. Den durch Körperwechsel aus einem -Vektorraum gewonnenen -Vektorraum.


Lösung

  1. Das Standardskalarprodukt auf dem ist durch

    gegeben.

  2. Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
  3. Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
  4. Die Äquivalenzklasse zu ist die Menge
  5. Eine Teilmenge heißt offen, wenn für jedes ein mit

    existiert.

  6. Zu einem -Vektorraum über einem Körper und einer Körpererweiterung nennt man den durch Körperwechsel gewonnenen -Vektorraum.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
  2. Der Satz des Thales.
  3. Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.


Lösung

  1. Jede eigentliche, lineare Isometrie
    ist eine Drehung.
  2. Es sei ein Punkt in der euklidischen Ebene , der Kreis mit Radius und Mittelpunkt und es sei eine Gerade durch , die den Kreis in den Punkten und trifft. Dann ist für jeden Punkt das Dreieck rechtwinklig an .
  3. Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale Vektorräume über . Dann gibt es eine natürliche Isomorphie


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Der sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des , aber nicht als Teilraum von realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des realisieren kann.


Lösung

a) Wir betrachten den Teilraum mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand , und diese haben zueinander den Abstand . In gibt es zu jedem Punkt genau zwei Punkte mit dem Abstand nämlich bzw , und diese haben aber zueinander den Abstand .

b) Wir betrachten im die folgende endliche Teilmenge: Es seien zwei Punkte im , die zueinander den Abstand besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius , also und . Der Durchschnitt ist eine Kreislinie . Es seien drei Punkte auf und wir betrachten die Teilmenge

mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand haben.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ein Eigenvektor zum Eigenwert und ein Eigenvektor zum Eigenwert von ist.


Lösung

Es ist

und


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des einen Eigenvektor zum Eigenwert besitzt.


Lösung

Wir betrachten das charakteristische Polynom von , also

Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für ergibt sich

Da für das Polynom geht, muss es für ein positives eine Nullstelle geben. Aufgrund von Fakt ***** kommt dafür nur in Frage.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte den Vektorraum aller (geordneten, auch ausgearteten) Dreiecke im , es geht also um die Menge aller Tupel . Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Norm?


Lösung Dreieck/Vektorraumstruktur/Umfang/Norm/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.


Lösung

Bezüglich einer Orthogonalbasis von (die es nach Fakt ***** gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten Diagonaleinträge positiv, die folgenden Diagonaleinträge negativ und die übrigen seien. Auf dem -dimensionalen Unterraum ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, so dass gilt. Sei , auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist , und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum , auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension größer als ist. Die Dimension von ist und daher ist nach Fakt *****.

Für einen Vektor , , ergibt sich aber direkt der Widerspruch und .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein normaler Endomorphismus. Zeige


Lösung

Sei mit . Nach Fakt *****  (3) ist

also ist auch und . Wegen

gilt davon auch die Umkehrung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik


Lösung

Die beschreibende Matrix ist

Das charakteristische Polynom davon ist

Wir berechnen einige Werte.

Somit besitzt das Polynom eine Nullstelle zwischen und , eine Nullstelle zwischen und und eine Nullstelle zwischen und . Daher gibt es eine negative Nullstelle und zwei positive Nullstellen und somit ist die normierte Standardgestalt der quadratischen Form gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die eigentliche Symmetriegruppe des Achsenkreuzes im .


Lösung Achsenkreuz/Eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Formel für die Potenzen


Lösung

Es ist