Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	5	2	3	5	3	6	3	4	2	3	5	5	4	2	0	61

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$.
2. Die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Eine zyklische Gruppe ${}G$.
4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element ${}x\in M$ in einer Menge ${}M$ mit einer Äquivalenzrelation ${}\sim$.
5. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${}M$.
6. Den durch Körperwechsel ${}K\subseteq L$ aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Lösung

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ ist durch

   ${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$

   gegeben.

2. Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
3. Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
4. Die Äquivalenzklasse zu ${}x$ ist die Menge

   ${}[x]={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}\,.$

5. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

   ${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

   existiert.

6. Zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$ und einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man ${}L\otimes _{K}V$ den durch Körperwechsel gewonnenen ${}L$-Vektorraum.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für eine eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
2. Der Satz des Thales.
3. Der Satz über Tensorprodukte von Dualräumen.

Lösung

1. Jede eigentliche, lineare Isometrie

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   ist eine Drehung.
2. Es sei ${}P$ ein Punkt in der euklidischen Ebene ${}E$, ${}K$ der Kreis mit Radius ${}r>0$ und Mittelpunkt ${}P$ und es sei ${}G$ eine Gerade durch ${}P$, die den Kreis in den Punkten ${}A$ und ${}B$ trifft. Dann ist für jeden Punkt ${}C\in K$ das Dreieck ${}A,B,C$ rechtwinklig an ${}C$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

   $V_{1}^{*}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}^{*}\longrightarrow {\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\right)}^{*},\,f_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}f_{n}\longmapsto {\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\mapsto f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu der von ${}{\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\4\\-7\end{pmatrix}}$ erzeugten Ebene  ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. 

Lösung

Die beiden Vektoren sind offensichtlich linear unabhängig, sodass sie in der Tat eine Ebene erzeugen und das orthogonale Komplement eine Gerade ist. Die Bedingungen für einen Vektor ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$, zu dem orthogonalen Komplement zu gehören, sind

${}5x-3y+4z=0\,$

und

${}2x+4y-7z=0\,.$

Die lineare Kombination ${}2I-5II$ führt auf

${}-26y+43z=0\,.$

Dafür ist  ${}y=43$  und  ${}z=26$  eine Lösung, und bei dieser Vorgabe ist

${}x=-2y+{\frac {7}{2}}z=-86+91=5\,.$

Also ist das orthogonale Komplement gleich

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5\\43\\26\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des ${}\mathbb {R} ^{2}$, aber nicht als Teilraum von ${}\mathbb {R}$ realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des ${}\mathbb {R} ^{2}$ realisieren kann.

Lösung

a) Wir betrachten den Teilraum  ${}M\{0,(1,0),(0,1)\}\subset$  mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum ${}M$ ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand ${}1$, und diese haben zueinander den Abstand ${}{\sqrt {2}}$. In ${}\mathbb {R}$ gibt es zu jedem Punkt ${}P$ genau zwei Punkte mit dem Abstand ${}1$ nämlich ${}P-1$ bzw ${}P+1$, und diese haben aber zueinander den Abstand ${}2$.

b) Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die folgende endliche Teilmenge: Es seien ${}P,Q$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{3}$, die zueinander den Abstand ${}1$ besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius ${}{\frac {2}{3}}$, also ${}S_{1}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid d(x,P)={\frac {2}{3}}\right\}}$ und ${}S_{2}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid d(x,Q)={\frac {2}{3}}\right\}}$. Der Durchschnitt ${}S_{1}\cap S_{2}$ ist eine Kreislinie ${}K$. Es seien ${}R_{1},R_{2},R_{3}$ drei Punkte auf ${}K$ und wir betrachten die Teilmenge

${}N=\{P,Q,R_{1},R_{2},R_{3}\}\,$

mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im ${}\mathbb {R} ^{2}$ realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand ${}1$ nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand ${}{\frac {2}{3}}$ haben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,$

eine ebene Achsenspiegelung,  ${}\alpha \neq 0$.  Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ und ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}-1$ von ${}M$ ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha -1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \\-\sin \alpha \sin \alpha -\cos \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\-1+\cos \alpha \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \alpha -\cos \alpha +\sin \alpha \sin \alpha \\\sin \alpha \cos \alpha -\sin \alpha -\cos \alpha \sin \alpha \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1-\cos \alpha \\-\sin \alpha \end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ besitzt.

Lösung

Wir betrachten das charakteristische Polynom von ${}\varphi$, also

${}P(\lambda )=\det \left(\lambda E_{3}-\varphi \right)\,.$

Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für  ${}\lambda =0$  ergibt sich

${}P(0)=\det \left(-\varphi \right)=-\det \left(\varphi \right)=-1\,.$

Da für ${}\lambda \to \infty$ das Polynom ${}P(\lambda )\to \infty$ geht, muss es für ein positives ${}\lambda$ eine Nullstelle geben. Aufgrund von Satz 33.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) kommt dafür nur  ${}\lambda =1$  in Frage.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte den Vektorraum aller (geordneten, auch ausgearteten) Dreiecke im ${}\mathbb {R} ^{2}$, es geht also um die Menge aller Tupel ${}(A,B,C)\in (\mathbb {R} ^{2})^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}$. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Norm?

Lösung erstellen

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$.

a) Zeige, dass zu einem Untervektorraum  ${}U\subseteq V$  der Orthogonalraum von ${}U$ ein Untervektorraum von ${}V$ ist.

b) Zeige, dass der Orthogonalraum zum Gesamtraum ${}V$ gleich dem Ausartungsraum ${}A$ ist.

c) Zeige, dass der Orthogonalraum zum Ausartungsraum ${}A$ gleich ${}V$ ist.

Lösung

a) Es ist

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$

Der Nullvektor gehört dazu. Für  ${}v_{1},v_{2}\in U^{\perp }$  und  ${}a_{1},a_{2}\in K$  und ein beliebiges  ${}u\in U$  ist unmittelbar

${}\left\langle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2},u\right\rangle =a_{1}\left\langle v_{1},u\right\rangle +a_{2}\left\langle v_{2},u\right\rangle =0\,.$

b) Der Ausartungsraum ist nach Definition

${}A={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}\,.$

Deshalb ist direkt  ${}A=V^{\perp }$. 

c) Es ist

${}A^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in A\right\}}\,.$

Dies ist der Gesamtraum, da ja jeder Vektor orthogonal zu jedem Vektor des Ausartungsraumes ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.

Lösung

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Satz 38.15 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$-dimensionalen Unterraum  ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$  ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass  ${}p'\leq p$  gilt. Es sei  ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$,  auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist  ${}V=U\oplus W$,  und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist  ${}W\cap U'\neq 0$  nach Korollar 9.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$, ${}w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch  ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$  und  ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus. Zeige

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {kern} {\hat {\varphi }}\,.$

Lösung

Es sei ${}v\in V$ mit  ${}\varphi (v)=0$.  Nach Lemma 42.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (3) ist

${}0=\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert \,,$

also ist auch  ${}{\hat {\varphi }}(v)=0$  und ${}v\in \operatorname {kern} {\hat {\varphi }}$. Wegen

${}{\hat {\hat {\varphi }}}=\varphi \,$

gilt davon auch die Umkehrung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$3x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$

Lösung

Die beschreibende Matrix ist

${\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom davon ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}&=(X-3){\left(X^{2}-2X-1\right)}-X\\&=X^{3}-2X^{2}-X-3X^{2}+6X+3-X\\&=X^{3}-5X^{2}+4X+3.\end{aligned}}$

Wir berechnen einige Werte.

${}x$	${}-1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}\chi _{}(x)$	${}-7$	${}3$	${}3$	${}-1$	${}-3$	${}3$

Somit besitzt das Polynom eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}0$, eine Nullstelle zwischen ${}1$ und ${}2$ und eine Nullstelle zwischen ${}3$ und ${}4$. Daher gibt es eine negative Nullstelle und zwei positive Nullstellen und somit ist die normierte Standardgestalt der quadratischen Form gleich ${}U^{2}+V^{2}-W^{2}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}}$

über dem Körper mit ${}3$ Elementen.

Lösung erstellen

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die eigentliche Symmetriegruppe des Achsenkreuzes im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Lösung erstellen

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne für die Matrix

${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${}\mathbb {R} ^{2}$ beidseitig mit der euklidischen Norm versehen ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+2y\\4x+3y\end{pmatrix}}\,.$

Die Maximumsnorm ist das Maximum der euklidischen Norm der Bildvektoren, also von

${}{\sqrt {{\left(x+2y\right)}^{2}+{\left(4x+3y\right)}^{2}}}={\sqrt {x^{2}+4y^{2}+4xy+16x^{2}+9y^{2}+24xy}}={\sqrt {17x^{2}+28xy+13y^{2}}}\,$

für die Menge

${}{\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \,\mid \mid \!{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }\leq 1\right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$

Hierzu betrachten wir die quadratische Form

$17x^{2}+28xy+13y^{2}$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$. Die zugehörige symmetrische Matrix ist

${\begin{pmatrix}17&14\\14&13\end{pmatrix}}.$

Das zugehörige charakteristische Polynom ist

${}{\left(z-17\right)}{\left(z-13\right)}-196=z^{2}-30z+25\,$

mit den Nullstellen ${}r_{1}=15+{\sqrt {200}}$ und ${}r_{2}=15-{\sqrt {200}}$. In den Koordinaten zur Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten besitzt die quadratische Form die Darstellung ${}r_{1}U_{1}^{2}+r_{2}U_{2}^{2}$. Daher ist die Maximumsnorm gleich ${}{\sqrt {15+{\sqrt {200}}}}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Formel für die Potenzen

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}&={\left({\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\right)}^{n}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}+n{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n-1}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n-2}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n-1}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n-1}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-1}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n-2}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n-2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&0&0\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2^{n-1}}}&0\\0&0&{\frac {1}{2^{n-1}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\binom {n}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&{\frac {1}{2^{n-2}}}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{n}}}&{\frac {n}{2^{n-1}}}&{\frac {\binom {n}{2}}{2^{n-2}}}\\0&{\frac {1}{2^{n}}}&{\frac {n}{2^{n-1}}}\\0&0&{\frac {1}{2^{n}}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2^{n}}}{\begin{pmatrix}1&2n&2n(n-1)\\0&1&2n\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Es sei  ${}v\in V$  derart, dass die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$ konvergiert. Zeige, dass der Grenzvektor

${}w:=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)\,$

der Nullvektor oder ein Eigenvektor von ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}1$.

Lösung

Es sei ${}w$ der Grenzvektor. Es ist

${}\varphi ^{n+1}(v)=\varphi (\varphi ^{n}(v))\,$

für alle  ${}n\in \mathbb {N}$.  Aufgrund der Stetigkeit (nach Satz 52.17 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))) von ${}\varphi$ sind die Limiten (nach Satz 52.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))) vertauschbar, also

${}w=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n+1}(v)=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (\varphi ^{n}(v))=\varphi {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)\right)}=\varphi (w)\,.$

Daher ist ${}w$ ein Fixpunkt von ${}\varphi$, also der Nullvektor oder ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}4\\-1\\-6\end{pmatrix}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}4\\-1\\-6\end{pmatrix}}&={\left(5e_{1}+3e_{2}\right)}\otimes {\left(4e_{1}-e_{2}-6e_{3}\right)}\\&=20e_{1}\otimes e_{1}-5e_{1}\otimes e_{2}-30e_{1}\otimes e_{3}+12e_{2}\otimes e_{1}-3e_{2}\otimes e_{2}-18e_{2}\otimes e_{3}.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen