Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)$

und die drei Zerlegungen

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

und

$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$

Welche ist (sind) die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 (und bezüglich welcher Basis)?

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$D=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& a_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{n-1n-1}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right).$

Zeige, dass $D$ mit jeder anderen $n\times n$-Matrix $M$ genau dann kommutiert, wenn alle Diagonaleinträge übereinstimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die direkte Summenzerlegung der $p_i$ bezüglich der Haupträume aus dem Beweis zu Satz 28.1.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& 3\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 7\\ 0& -2& -6\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme zur reellen Matrix

$M=\left(\begin{array}{cccc}3& 5& 2& 4\\ 0& 3& 6& -1\\ 0& 0& 3& 2\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine nilpotente $n\times n$-Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne $\mathrm{kern}{M}^i$ eine Fahne in $K^n$ bilden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine $n\times n$-Jordanmatrix zum Eigenwert $\lambda$. Bestimme das Minimalpolynom von $M$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix mit den Jordanblöcken $J_1,\dots ,J_k$, wobei die Diagonaleinträge konstant gleich $\lambda$ seien. Bestimme das Minimalpolynom von $M$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in $M$ gleich der Dimension des Eigenraumes ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Produkt von zwei Matrizen in jordanscher Normalform nicht in jordanscher Normalform sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix in jordanscher Normalform und es sei $D$ die zugehörige Diagonalmatrix. Zeige, dass die kanonische additive Zerlegung im Sinne von Satz 28.1 gleich

$M=D+(M-D)$

ist.

Aufgabe * Aufgabe 28.13 ändern

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$

mit  $\lambda \in K$.  Zeige durch Induktion, dass

$M^n=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^n& n{\lambda }^{n-1}\\ 0& {\lambda }^n\end{array}\right)$

ist.

Man sagt, dass ein Körper $K$ positive Charakteristik besitzt, wenn für eine positive natürliche Zahl $p\in {\mathbb{N}}_{+}$ die Gleichung  $p=0$  gilt. Die Körper $\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ haben diese Eigenschaft nicht, man sagt, dass sie Charakteristik $0$ haben. Endliche Körper haben positive Charakteristik, und zwar ist die Charakteristik immer eine Primzahl.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper mit positiver Charakteristik  $p>0$.  Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

die endliche Ordnung $p$ besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis, bezüglich der die durch

$M=\left(\begin{array}{cccc}4& -6& 0& -1\\ 0& 5& 2& 7\\ 0& 0& 4& 4\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right)$

gegebene lineare Abbildung jordansche Normalform besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 28.17 ändern

Es sei $M$ eine Jordanmatrix zum Eigenwert $\lambda$. Zeige, dass der Eigenraum von $M$ zum Eigenwert $\lambda$ eindimensional ist und dass es keine weiteren Eigenvektoren gibt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus, der bezüglich einer geeigneten Basis durch eine $n\times n$-Jordanmatrix beschrieben wird. Zeige, dass es keine direkte Summenzerlegung

$V=U\oplus W$

in $\phi$-invariante Untervektorräume  $U,W\subset V$  gibt.

Aufgabe (8 (4+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und ein Körper $K$ der Charakteristik $0$ fixiert. Zu einer nilpotenten $n\times n$-Matrix $M$ sei $\exp M$ durch

$\exp M=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{M}^k$

definiert.

a) Zeige, dass für vertauschbare nilpotente Matrizen $M,N$ die Gleichheit

$\exp (M+N)=\exp M\circ \exp N$

gilt.

b) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix $\exp M$ invertierbar ist.

c) Zeige, dass für eine nilpotente Matrix $M$ die Matrix $\exp M$ unipotent ist.