Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 58/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und sei eine Basis von . Beschreibe die Matrix zur natürlichen Abbildung ( Faktoren)

bezüglich der zugehörigen Basen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine direkte Zerlegung in Untervektorräume der Dimension und . Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit gibt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein Vektorraum über dem Körper und

ein Endomorphismus. Es sei

das -te Dachprodukt von . Es seien linear unabhängige Eigenvektoren zu zu den Eigenwerten . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Es sei

eine diagonalisierbare -lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt

diagonalisierbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Es sei

eine trigonalisierbare -lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt

trigonalisierbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe des Dachproduktes.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke das Dachprodukt

im als Linearkombination der Dachprodukte , und aus.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke das Dachprodukt

in der Standardbasis von aus.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Basis

von und die dadurch induzierte Basis

von . Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis und der Standardbasis .


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.



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