Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 57

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom zu mit dem charakteristischen Polynom der Tensorierung übereinstimmt.

Allerdings können beim Übergang von nach neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten.

Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und seien und Vektorräume über .

a) Definiere eine -lineare Abbildung

die auf abbildet.

b) Seien die beiden Vektorräume nun endlichdimensional. Zeige, dass die Abbildung aus Teil (a) ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung, ein -Vektorraum und ein -Vektorraum. Es sei

eine -lineare Abbildung. Zeige, dass es eine -lineare Abbildung

gibt, die fortsetzt (also auf mit übereinstimmt).


Aufgabe

Vereinfache in den Ausdruck


Aufgabe

Vereinfache in den Ausdruck


Aufgabe

Vereinfache in den Ausdruck


Aufgabe

Sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige die Gleichheit .


Aufgabe

Sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Zeige, dass nicht der Nullraum ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei . Zeige .


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es seien . Zeige, dass die Abbildung

multilinear und alternierend ist.


Aufgabe

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Vektoren in , die miteinander in der Beziehung

stehen, wobei eine -Matrix bezeichnet. Dann gilt in die Beziehung


Aufgabe

Beweise Satz 57.9 direkt aus der Konstruktion für das Tensorprodukt und der Konstruktion für das Dachprodukt.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum und sei .

  1. Kann man durch die Zuordnung

    eine (lineare) Abbildung von nach festlegen?

  2. Kann man auf die kanonische Abbildung

    die universelle Eigenschaft für das Dachprodukt anwenden, um eine lineare Abbildung von nach zu erhalten?


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum und sei

(mit Faktoren) die kanonische multilineare Abbildung.

  1. Es sei eine Permutation. Zeige, dass es eine multilineare Abbildung

    mit

    gibt.

  2. Zeige, dass multilinear und alternierend ist.
  3. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

    mit

    gibt.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung, ein -Vektorraum und . Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der -Vektorräume

(wobei links das Dachprodukt über steht) gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Körpererweiterung, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und

die zugehörige Komplexifizierung. Zeige, dass genau dann (asymptotisch) stabil ist, wenn dies für gilt.



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