Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 36/kontrolle
- Übungsaufgaben
Rekapituliere Gesetzmäßigkeiten für Winkel (Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel). Beweise diese elementargeometrisch und vektoriell.
Rekapituliere die Begriffe spitzes Dreieck, stumpfes Dreieck, gleichseitiges Dreieck und gleichschenkliges Dreieck.
Zeige elementargeometrisch, dass die Winkelsumme in einem Dreieck gleich Grad ist.
Zeige, dass es in einem nichtausgearteten Dreieck maximal einen rechten Winkel gibt.
In den affinen Ebenen und seien nichtausgeartete Dreiecke und gegeben. Zeige, dass es eine bijektive affine Abbildung
gibt, die die Dreiecke ineinander überführt.
Zeige, dass sich bei einer Verschiebung einer euklidischen Ebene die Seitenlängen und die Winkel eines Dreiecks nicht ändern.
Es seien und Dreiecke mit der Eigenschaft, dass zwei Seitenlängen und der von ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent sind.
Es seien und Dreiecke mit der Eigenschaft, dass eine Seitenlänge und die an der Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent sind.
Zeige, dass ein gleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck genau dann kongruent ist, wenn es dazu eigentlich kongruent ist. Zeige ferner, dass ein nichtgleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck kongruent sein kann, aber nicht eigentlich kongruent.
Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.
Es seien drei Punkte gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.
Zeige, dass zwei nichtausgeartete Dreiecke in einer euklidischen Ebene genau dann zueinander ähnlich sind, wenn ihre Winkel übereinstimmen.
Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?
Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt . Zeige, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch auf der Strecke liegt.
Bestimme für das Dreieck im mit den Eckpunkten die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit
![{\displaystyle {}a,b,c\in {]0,1[}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bf66fe1848171a59a1b5c61c59161f651b3ede)
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit
![{\displaystyle {}a,b\in {]0,1[}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8d5f76730252b7fbe1daec643ed47ad3102f98)
![{\displaystyle {}c\in {]0,1[}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fea4cb646de38fb17e72f70c364d1e8b8d4ec2)
Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung der diophantischen Gleichung
Es heißt primitiv, wenn keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
Es seien und ungerade. Zeige, dass keine Quadratzahl ist.
Es sei ein pythagoreisches Tripel. Zeige, dass oder ein Vielfaches von ist.
Skizziere ein Dreieck derart, dass eine Höhe das Dreieck in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke und unterteilt so, dass die Seitenlängen von und jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.
Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.
Beweise die Umkehrung des Satzes von Thales: Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an . Es sei der Mittelpunkt der Strecke . Dann ist
d.h. liegt auf dem Kreis mit Mittelpunkt durch (und ).
Beweise den Kosinussatz.
Beweise die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck die Beziehung
zwischen den Seitenlängen gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig.
Es sei ein metrischer Raum, der aus drei Punkten bestehe. Zeige, dass man als metrischen Unterraum einer euklidischen Ebene realisieren kann.
Es sei ein Dreieck in der euklidischen Ebene und es sei der Rand des Dreiecks, also die Vereinigung der drei Seiten.
- Definere eine Metrik auf derart, dass der Abstand von zwei Punkten, die auf der gleichen Seite liegen, einfach der
induzierte Abstand
ist und
der minimale Abstand längs eines Weges auf ist.
- Handelt es sich um die induzierte Metrik?
- Kann es sein, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten über alle drei Seiten läuft?
In den folgenden Begriffen und Aufgaben wird das Konzept einer konvexen Hülle erläutert.
Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
![{\displaystyle rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a85ddf591387a4e4267cf8a43d1090bae32955a)
ebenfalls zu gehört.
Zu einer Teilmenge heißt die kleinste konvexe Teilmenge , die umfasst, die konvexe Hülle von .
Die Existenz der konvexen Hülle beruht auf folgender Beobachtung.
Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen wieder konvex ist.
Es seien Punkte im . Zeige, dass die konvexe Hülle dieser Punkte gleich der durch nichtnegative baryzentrische Kombinationen gegebenen Menge
ist.
Sind alle Vierecke konvex?
Zerlege geometrisch die angegebene Strecke in fünf gleichlange Teile.
Begründe, dass in der Situation von Satz 36.16 ähnliche Dreiecke vorliegen.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe für die beiden Dreiecke
explizit eine Folge von Verschiebungen, Drehungen und Achsenspiegelungen an, die das eine Dreieck in das andere überführt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für das Dreieck im mit den Eckpunkten die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.
Aufgabe (8 (2+1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen
Im sei das Dreieck mit den Eckpunkten gegeben.
a) Bestimme eine Gleichung und eine Parameterdarstellung für die affine Ebene, in der das Dreieck liegt.
b) Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks.
c) Bestimme die Winkel des Dreiecks.
d) Bestimme eine Parameterdarstellung für die Höhengerade durch den Punkt , die Länge dieser Höhe und den zugehörigen Höhenfußpunkt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Dreieck in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass der Abstand des Eckpunktes zur Seite im Punkt oder im Punkt oder im Höhenfußpunkt zur Höhe durch angenommen wird.
