Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere ist, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?

Aufgabe

Bestimme die Ordnung der ebenen Drehung um ${}291$ Grad.

Aufgabe *

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${}45$ Grad, von der Drehung um ${}99$ Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}$?

Aufgabe

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels  ${}\alpha =360/12=30$  Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?

Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit ${}(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die (eigentlichen und uneigentlichen) Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.

Aufgabe *

Es sei ${}Q$ das Quadrat im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

a) Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.

b) Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.

c) Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?

Aufgabe

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat (mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt) gleich aus?

Aufgabe

Betrachte ein Rechteck in der Ebene, das kein Quadrat sei, und dessen Mittelpunkt der Nullpunkt sei und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen mögen. Bestimme die Matrizen, die die (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien des Rechteckes beschreiben. Erstelle eine Verknüpfungstafel für diese Symmetriegruppe.

Aufgabe

Welche Zahlen treten als Ordnungen von eigentlichen Würfelsymmetrien auf? Beschreibe die Wirkungsweise der Symmetrie auf den Eckpunkten, den Kanten und den Seiten des Würfels sowie auf den Raumdiagonalachsen, den Seitenmittelpunktsachsen und den Kantenmittelpunktsachsen.

Aufgabe

Bestimme die vier Bewegungen an einem Würfel mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ in Matrixschreibweise, die ${}(1,0,0)$ auf ${}(0,0,-1)$ abbilden.

Aufgabe

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von ${}1$ bis ${}6$ derart zu nummerieren, dass die Summe der Zahlen auf gegenüberliegender Seiten stets ${}7$ ergibt?

Wie viele Möglichkeiten gibt es überhaupt?

Aufgabe

Die Ecken ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ eines Würfels seien mit ${}1,2,3,\ldots ,8$ (oder ähnlich) bezeichnet (Skizze!). Beschreibe durch Wertetabellen, wie die folgenden (eigentlichen oder uneigentlichen) Würfelsymmetrien die Eckpunkte permutieren:

a) ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}$,

b) ${}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}$,

c) ${}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$.

Was passiert mit den Kantenmittelpunkten unter diesen Bewegungen?

Aufgabe

Es sei ${}W$ der Würfel mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Fixiere eine Kantenmittelpunktachse (durch den Nullpunkt). Welche Bewegungen des Würfels lassen sich als Drehung um diese Achse beschreiben? Wie sehen diese Bewegungen in Matrixschreibweise aus, und was passiert dabei mit den Eckpunkten des Würfels?

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte eines Tetraeders, bei dem der Nullpunkt der Mittelpunkt ist, die vier Eckpunkte des Tetraeders vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen, der Punkt ${}(0,0,1)$ ein Eckpunkt ist und ein weiterer Eckpunkt Koordinaten der Form ${}(u,0,v)$ besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${}51$ Grad, von der Drehung um ${}99$ Grad und von der Siebteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}$?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}W$ der Würfel mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Es sei ${}\varphi$ eine Dritteldrehung um die Raumdiagonale durch ${}(1,1,1)$ und ${}(-1,-1,-1)$. Bestimme Ebenengleichungen für diejenigen Ebenen, auf denen je drei Eckpunkte liegen, die durch diese Drehung ineinander überführt werden.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die in den obigen Skizzen angedeuteten Symmetrien des Tetraeders eine geeignete Matrixdarstellung.