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Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 48

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Übungsaufgaben

Es seien zwei reelle Zahlen . Zeige, dass diese genau dann äquivalent bezüglich der durch die Untergruppe gegebenen Äquivalenzrelation sind, wenn es eine reelle Zahl und ganze Zahlen mit und gibt.



Wir betrachten als -Vektorraum. Man mache sich klar, dass in die Gleichheit für zwei reelle Zahlen genau dann gilt, wenn die Differenz eine rationale Zahl ist.



Für reelle Zahlen setzen wir , wenn es rationale Zahlen mit derart gibt, dass

ist.

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf ist.
  2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu .
  3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht kommensurabel sind, die aber unter äquivalent sind.



Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei , , eine Basis von und , , eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn , , eine Basis des Restklassenraumes ist.



Es sei

eine Fahne in einem endlichdimensionalen - Vektorraum . Zeige

für .



Der - Vektorraum sei die direkte Summe der Untervektorräume und und es seien und Untervektorräume. Zeige


Man interpretiere die Aussage der folgenden Aufgabe im Kontext des Faktorisierungssatzes.


Es sei eine - Matrix über dem Körper mit dem Rang . Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.



Es sei ein Körper und ein - Vektorraum und es sei

eine lineare Abbildung und ein - invarianter Untervektorraum. Zeige, dass dies eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

auf dem Restklassenraum mit der Eigenschaft induziert, dass das Diagramm

kommutiert.



Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei ein - invarianter Untervektorraum. Es sei eine Basis von und eine Basis von , bezüglich der durch die Matrix beschrieben werde. Durch welche Matrix wird die in Aufgabe 48.8 definierte lineare Abbildung

bezüglich der Basis von beschrieben?


Zur folgenden Aufgabe vergleiche man Aufgabe 16.23.


Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei ein - invarianter Untervektorraum. Es sei die Einschränkung von auf und

die in Aufgabe 48.8 definierte lineare Abbildung. Zeige



Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und es sei ein - invarianter Untervektorraum. Es sei die Einschränkung von auf und

die in Aufgabe 48.8 definierte lineare Abbildung. Zeige, dass für das charakteristische Polynom die Beziehung

gilt.



Es sei der reelle Vektorraum aller Folgen. Zeige, dass die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.

  1. Die Menge der konstanten Folgen.
  2. Die Menge der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von verschieden sind.
  3. Die Menge der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind.
  4. Die Menge der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben.
  5. Die Menge der konvergenten Folgen.
  6. Die Menge der Nullfolgen.

Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen?



Wir betrachten die beiden reellen Folgen

und

und wir verwenden einige Bezeichnungen aus Aufgabe 48.12.

  1. Zeige, dass die beiden Folgen und in linear unabhängig sind.
  2. Zeige, dass die beiden Folgen und in linear abhängig sind.
  3. Wie sieht es in aus?



Es sei der reelle Vektorraum aller konvergenten Folgen und

der Untervektorraum der Nullfolgen. Zeige



Zeige, dass durch die Abbildung

ein Gruppenisomorphismus gegeben ist. Wie ist jeweils die Gruppenstruktur gegeben? Skizziere, welche markanten Teilmengen des Zylinders und der gelochten Ebene sich unter diesem Isomorphismus entsprechen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten als - Vektorraum und den Untervektorraum

Zeige, dass im Restklassenraum zwei komplexe Zahlen genau dann gleich werden, wenn ihre Imaginärteile übereinstimmen.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein - Vektorraum und seien Untervektorräume. Es sei

die kanonische Projektion. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. Für die Bildräume gilt
  2. Es ist
  3. Es ist



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein - Vektorraum zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform und es sei der Ausartungsraum. Zeige, dass auf dem Restklassenraum ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform mit

für alle existiert.



Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum und es sei ein Untervektorraum. Wir definieren auf eine Relation durch

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Zeige, dass ein affiner Raum über dem Restklassenraum ist.
  3. Zeige, dass die kanonische Projektion

    eine affine Abbildung ist.




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