Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 48

Restklassenringe

Auf einer Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe gibt es häufig zusätzliche Strukturen, wenn die Ausgangsgruppe und der Normalteiler zusätzliche Eigenschaften besitzen. In der letzten Vorlesung haben wir Restklassenräume zu Untervektorräumen besprochen. Hier besprechen wir kurz Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring. Gelegentlich sind uns schon Ringhomomorphismen begegnet, wir erinnern an die Definition.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$. 
2.  ${}\varphi (1)=1$. 
3.  ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$. 

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

Beweis

Siehe Aufgabe 48.1.

$\Box$

Nach Lemma 48.2 ist der Kern eines Ringhomomorphismus ein Ideal. Man kann umgekehrt zu jedem Ideal  ${}I\subseteq R$  in einem (kommutativen) Ring einen Ring ${}R/I$ konstruieren, und zwar zusammen mit einem surjektiven Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R/I,$

dessen Kern gerade das vorgegebene Ideal ${}I$ ist. Ideale und Kerne von Ringhomomorphismen sind also im Wesentlichen äquivalente Objekte, so wie das bei Gruppen für Kerne von Gruppenhomomorphismen und Normalteilern gilt. In der Tat gelten die entsprechenden Homomorphiesätze hier wieder, und können weitgehend auf die Gruppensituation zurückgeführt werden. Wir werden uns bei den Beweisen also kurz fassen können.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal in ${}R$. Zu  ${}a\in R$  heißt die Teilmenge

${}a+I={\left\{a+f\mid f\in I\right\}}\,$

die Nebenklasse von ${}a$ zum Ideal ${}I$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu ${}I$.

Diese Nebenklassen sind gerade die Nebenklassen zur (additiven) Untergruppe  ${}I\subseteq R$,  die wegen der Kommutativität der Addition ein Normalteiler ist. Zwei Elemente  ${}a,b\in R$  definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also  ${}a+I=b+I$,  wenn ihre Differenz ${}a-b$ zum Ideal gehört. Man sagt dann auch, dass ${}a$ und ${}b$ dieselbe Nebenklasse repräsentieren.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}I\subseteq R$  ein Ideal in ${}R$. Dann ist der Restklassenring ${}R/I$ (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

1. Als Menge ist ${}R/I$ die Menge der Nebenklassen zu ${}I$.
2. Durch

   ${}(a+I)+(b+I):=(a+b+I)\,$

   wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

3. Durch

   ${}(a+I)\cdot (b+I):=(a\cdot b+I)\,$

   wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

4.  ${}{\bar {0}}=0+I=I$  definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
5.  ${}{\bar {1}}=1+I$  definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Man muss dabei zeigen, dass diese Abbildungen (also Addition und Multiplikation) wohldefiniert sind, d.h. unabhängig vom Repräsentanten, und dass die Ringaxiome erfüllt sind. Da ${}I$ insbesondere eine Untergruppe der kommutativen Gruppe ${}(R,+,0)$ ist, liegt ein Normalteiler vor, sodass ${}R/I$ eine Gruppe ist und die Restklassenabbildung

$R\longrightarrow R/I,\,a\longmapsto a+I=:{\bar {a}},$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Das einzig Neue gegenüber der Gruppensituation ist also die Anwesenheit einer Multiplikation. Die Wohldefiniertheit der Multiplikation ergibt sich so: Seien zwei Restklassen gegeben mit unterschiedlichen Repräsentanten, also ${}{\overline {a}}\,={\overline {a'}}\,$ und ${}{\overline {b}}\,={\overline {b'}}\,$. Dann ist ${}a-a'\in I$ und ${}b-b'\in I$ bzw. ${}a'=a+x$ und ${}b'=b+y$ mit  ${}x,y\in I$.  Daraus ergibt sich

${}a'b'=(a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy\,.$

Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, sodass die Differenz  ${}a'b'-ab\in I$  ist.

Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt. Diesen nennt man wieder die Restklassenabbildung oder den Restklassenhomomorphismus. Das Bild von  ${}a\in R$  in ${}R/I$ wird häufig mit ${}[a]$, ${}{\bar {a}}$ oder einfach mit ${}a$ selbst bezeichnet und heißt die Restklasse von ${}a$. Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf ${}0$, d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal.

Das einfachste Beispiel für diesen Prozess ist die Abbildung, die einer ganzen Zahl ${}a$ den Rest bei Division durch eine fixierte Zahl ${}d$ zuordnet. Jeder Rest wird dann repräsentiert durch eine der Zahlen ${}0,1,2,\ldots ,d-1$. Im Allgemeinen gibt es nicht immer ein solch übersichtliches Repräsentantensystem.

Die Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$

Die Restklassengruppen ${}\mathbb {Z} /(d)$ haben wir bereits kennengelernt, es handelt sich um zyklische Gruppen der Ordnung ${}d$. Diese Gruppen bekommen jetzt aber noch zusätzlich eine Ringstruktur.

Korollar

Es sei  ${}d\geq 0$  eine natürliche Zahl.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}\mathbb {Z} /(d)$ derart, dass die Restklassenabbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(d),\,a\longmapsto {\overline {a}}\,,$

ein Ringhomomorphismus ist.

${}\mathbb {Z} /(d)$ ist ein kommutativer Ring mit ${}d$ Elementen (bei $d\geq 1$).

Beweis

Dies ist ein Spezialfall der obigen Überlegungen.

$\Box$

Satz

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.
2. ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}n$ ist eine Primzahl.

Beweis

Siehe Aufgabe 48.7.

$\Box$

Die Restklassenringe  ${}S=K[X]/(P)$  sind ebenfalls gut überschaubar (${}K$ ein Körper). Wenn ${}P$ den Grad ${}d$ besitzt, so wird jede Restklasse in ${}S$ durch ein eindeutiges Polynom von einem Grad ${}<d$ repräsentiert. Dieses ist der Rest, den man erhält, wenn man durch ${}P$ durchdividiert.

Orientierungen auf reellen Vektorräumen

Jeder Punkt ${}\neq 0$ auf einer Geraden definiert eine Orientierung. Die beiden grünen Punkte definieren die gleiche Orientierung, der rote Punkt die andere.

Bei einem eindimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ (einer Geraden) ist jeder von ${}0$ verschiedene Vektor ein Basisvektor. Wenn man die ${}0$ herausnimmt, so zerfällt die Gerade in zwei Hälften (zwei Halbgeraden, zwei Strahlen). Wenn die Gerade „horizontal vor einem liegt“, so werden die beiden Hälften als „links“ bzw. „rechts“ angesprochen. Diese Begrifflichkeit ist ziemlich problematisch, wenn man die Gerade bewegt oder wenn man sie aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet. Dagegen ist es ein einfacher Tatbestand, dass es zwei Seiten gibt und es ist auch einfach zu bestimen, ob zwei Punkte der gleichen Seite oder verschiedenen Seiten angehören, auch wenn die einzelnen Seiten schwer zu benennen sind. Die Gleichseitigkeit von zwei Punkten ${}\neq 0$ auf der Geraden kann man dadurch ausdrücken, dass ihre Übergangsmatrix (Basiswechselmatrix), die ja nur aus einer einzigen reellen Zahl besteht, positiv ist, die Andersseitigkeit bedeutet, dass die Übergangsmatrix negativ ist.

In der Ebene gibt es ein vergleichbares Phänomen, den Drehsinn. Wenn man sich beispielsweise auf der Erdoberfläche um einen Baum bewegen möchte, so kann man das mit dem Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn tun. Der Uhrzeigersinn ist durch eine Konvention festgelegt und es wird von der Draufsicht „von oben“ ausgegangen. Für den nach oben schauenden Maulwurf im Boden ist der Drehsinn genau umgekehrt. Wenn im Raum irgendeine Ebene gegeben ist, so ist keineswegs klar, was in ihr der Uhrzeigersinn sein soll. Dennoch ist für jede Ebene klar, dass es dort zwei entgegengesetzte Drehrichtungen gibt und wann zwei Drehrichtungen übereinstimmen. Auch dieses Phänomen kann man mit Basen und ihren Übergangsmatrizen erfassen. Der Mittelpunkt der Uhr sei der Nullpunkt der Ebene, den Zeiger fassen wir zu jedem Zeitpunkt als einen Vektor auf. Zu zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ nimmt der Zeiger die beiden Vektorpositionen ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ ein, wobei darauf zu achten ist, dass in der Zeitdifferenz weniger als eine Halbdrehung vollzogen wird. Diese beiden Vektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ definieren eine Basis der Ebene (nach einer Halbdrehung wäre ${}v_{2}=-v_{1}$ und die beiden Vektoren wären linear abhängig). Wenn man zum Zeitpunkt  ${}t_{1}=0$  den Zeiger oben sein lässt, sie wird die Zeigerbewegung im Uhrzeigersinn durch ${}{\begin{pmatrix}\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}$ parametrisiert. Die beiden Vektoren sind dann

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}0<t<\pi .$

Wurde die Uhr von vorne oder von hinten in die schräge Ebene hineingelegt?

Die Übergangsmatrix zwischen der Standardbasis

$u_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,u_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

ist

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}0&\sin t\\1&\cos t\end{pmatrix}}\,.$

Die Determinante davon ist ${}-\sin t$, und diese ist im angegebenen Winkelbereich für ${}t$ stets negativ, für ${}t$ aus ${}]\pi ,2\pi [$ ist sie positiv. Die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}{\text{ und }}w_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,w_{2}={\begin{pmatrix}\sin s\\\cos s\end{pmatrix}}{\text{ mit }}t,s\in {]0,\pi [}$

haben eine positive Determinante. In diesem Sinne legt der Uhrzeigersinn zwar keine Basis fest, aber doch eine Klasse von Basen, die untereinander eine Übergangsmatrix mit positiver Determinante haben. Wenn man gegen den Uhrzeigersinn läuft, so gelangt man zu Basen vom Typ

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}t\in {]0,\pi [},$

und diese haben zur Standardbasis und untereinander Übergangsmatrizen mit positiver Determinante.

Im Raum gibt es wieder ein vergleichbares Phänomen, wobei hier die menschliche Anatomie hilft. Die rechte und die linke Hand sind spiegelbildlich aufgebaut (die rechte Hand ist diejenige, die vom Herz weiter weg ist als die linke). Wenn man eine Hand nimmt, den Handmittelpunkt als Nullpunkt des Raumes ansetzt und den Daumen, Zeige- und Mittelfinger ausspreizt, sodass Daumen und Zeigefinger eine Pistole bilden und der Mittelfinger nach innen zeigt, so ergibt sich durch diese drei Finger in dieser Reihenfolge im Raum eine Folge von drei Vektoren, die eine Basis bilden (man kann auch die Finger einzeln vom Ansatz zur Spitze als Vektoren auffassen und auf einen gemeinsamen Ursprungspunkt verzichten, das macht keinen Unterschied). Wenn man dies mit der linken und der rechten Hand macht, so kann man zwar Daumen und Zeigefinger parallel aneinander anlegen, aber die Mittelfinger sind dann einander entgegen gesetzt. Die Übergangsmatrix zwischen den beiden Handbasen ist

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},$

ihre Determinante ist negativ. Die rechte und die linke Hand repräsentieren wieder unterschiedliche Orientierungen von Raumbasen.

Wir kommen nun zur allgemeinen Definition einer Orientierung. Im Folgenden ist es wichtig, dass man unter einer Basis nicht die Menge der Basisvektoren ${}\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$, sondern das geordnete Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ der Basisvektoren versteht.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.

Diese Relation zwischen Basen ist eine Äquivalenzrelation, und zwar eine, bei der es nur zwei Äquivalenzklassen (genannt Orientierungen oder Orientierungsklassen) gibt (außer beim Nullraum).

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.

Es ist einfach, zu bestimmen, ob zwei Basen die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung besitzen, es macht aber keinen Sinn, die einzelnen Orientierungen zu benennen.

Viele Objekte aus Natur und Technik machen deutlich, dass es zwei verschiedene Orientierungen gibt. Es ist einfach, bei gleichartigen Objekten wie Federn die mit der gleichen und die mit der entgegengesetzten Orientierung zu erkennen.

Die Benennung der beiden Orientierungen und welchen mathematischen (durch eine Basis repräsentierten) Orientierungen sie entsprechen ist eine Frage der Konvention.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.

Ein Vektorraum wird dadurch orientiert, dass man beispielsweise sagt, dass ${}V$ die Orientierung tragen möge, die durch die Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ repräsentiert wird. Der Standardraum ${}\mathbb {R} ^{n}$ trägt, wenn nichts anderes gesagt wird, die sogenannte Standardorientierung, die durch die Standardbasis ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ repräsentiert wird. Die Standardorientierung von ${}\mathbb {R}$ wird durch die ${}1$ und jede positive Zahl repräsentiert, die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{2}$ entpricht, wenn man wie üblich den ersten Standardvektor nach rechts und den zweiten Standardvektor dazu senkrecht nach oben zeichnet, der Bewegung gegen den Uhrzeigersinn. Im Raum entspricht die Standardorientierung der rechten Hand, wenn man den Raum mit der ersten Achse nach rechts, der zweiten Achse nach hinten und der dritten Achse nach oben positiv ausrichtet. Die rechte Hand liefert eine menschlich-natürliche Orientierung des Anschauungsraumes und die Standardorientierung liefert eine Orientierung auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$, beides hat erstmal nichts miteinander zu tun, da es eine Vielzahl an Möglichkeiten gibt, ein Koordinatensystem aufzustellen. Das eben angesprochene Koordinatensystem beruht auf einer Konvention.

Auf einem beliebigen reellen Vektorraum gibt es keine kanonische Möglichkeit, eine Orientierung auszuzeichnen. Es gibt zwar zu jedem reellen endlichdimensionalen Vektorraum eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,$

und dabei wird die Standardbasis auf eine Basis von ${}V$ abgebildet, allerdings hängen diese Bildbasen und ihre Orientierungsklasse vom gewählten ${}\varphi$ ab. Es ist nicht möglich, auf jedem ${}V$ eine Orientierung in kanonischer Weise festzulegen.

Unter einer Orientierung auf einem reellen affinen Raum ${}E$ versteht man eine Orientierung auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$, die die Orientierung auf ${}V$ repräsentiert, die Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Es genügt, diese Eigenschaft für eine einzige, die Orientierung repräsentierende Basis nachzuweisen, siehe Aufgabe 48.19. Bei einem Automorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ kann man direkt von orientierungstreu sprechen, ohne zuvor eine Orientierung auszuzeichen. Orientierungstreu liegt vor, wenn jede Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu ihrer Bildbasis ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ orientierungsgleich ist. Dies kann man einfach mit der folgenden Beobachtung überprüfen.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann orientierungstreu, wenn die Determinante von ${}\varphi$ positiv ist.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Wegen der Bijektivität von ${}\varphi$ bilden auch die Bilder

$\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$

eine Basis von ${}V$. Es sei

${}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

sodass

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$

die beschreibende Matrix der Abbildung bezüglich der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist. Diese Matrix ist auch die Basiswechselmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {\varphi (v)}}$. Die Positivität der Determinante dieser Übergangsmatrix bedeutet nach Definition, dass die beiden Basen die gleiche Orientierung repräsentieren.

$\Box$

Wenn auf ${}V$ ein Skalarprodukt ausgezeichnet und ${}\varphi$ eine Isometrie ist, so bedeutet positive Determinante nach Lemma 33.13 einfach, dass die Determinante gleich ${}1$ ist. In diesem Zusammenhang stimmt also orientierungsgleich und eigentlich überein.

Fußnoten

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