Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 17

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass ${}X$ kompakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es seien  ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X$  kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung  ${}Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}$  kompakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein kompakter Raum und es sei  ${}Y\subseteq X$  eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ${}Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ nicht überdeckungskompakt ist.

Aufgabe

Zeige auf möglichst viele Arten, dass der Raum

${}M={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,$

kompakt ist.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ kompakte topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum ${}X\times Y$ kompakt ist.

Aufgabe

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß aus dem Satz von Heine-Borel.

Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass ${}\mathbb {N}$ abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von ${}f$ homöomorph zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen Intervall oder zu ${}S^{1}$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von ${}f$ homöomorph zu einem abgeschlossenen Intervall ist.

Aufgabe

Es sei  ${}V\neq 0$  ein normierter Vektorraum. Zeige, dass ${}V$ nicht kompakt ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein total beschränkter metrischer Raum beschränkt ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine Teilmenge  ${}T\subseteq M$  eines total beschränkten metrischen Raumes ${}M$ wieder total beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  ein abgeschlossenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche mit Rand) mit Seitenlänge ${}2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius ${}1$, mit denen man ${}T$ überdecken kann.

Aufgabe

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  ein offenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche ohne den Rand) mit Seitenlänge ${}2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius ${}1$, mit denen man ${}T$ überdecken kann.

Aufgabe

Wir betrachten den abgeschlossenen Ball

${}X=U{\left((0,0),1\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$

Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen ${}U{\left(P_{i},1\right)}$, mit der man ${}X$ überdecken kann.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen vollständigen beschränkten metrischen Raum ${}M$, der nicht total beschränkt ist.

Aufgabe *

Es sei  ${}T\subseteq M$  eine total beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass auch der Abschluss ${}{\overline {T}}$ total beschränkt ist.

Aufgabe

Zeige, dass für eine Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  die Konzepte beschränkt und total beschränkt zusammenfallen.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein folgenkompakter topologischer Raum. Zeige, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei  ${}Y\subseteq X$  eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass das Bild  ${}\varphi (X)\subseteq Y$  ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die folgenden Teilmengen  ${}T\subseteq \mathbb {R}$  auf Vollständigkeit, Beschränktheit und totale Beschränktheit.

1.  ${}T=\mathbb {Z}$, 
2.  ${}T=]0,1[$, 
3.  ${}T=\mathbb {Q}$, 
4.  ${}T=]0,1[\cap \mathbb {Q}$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass ${}\varphi$ gleichmäßig stetig ist.

Die Aufgabe zum Aufgeben

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten den offenen Ball

${}X=U{\left((0,0),2\right)}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$

Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen ${}U{\left(P_{i},1\right)}$, mit der man ${}X$ überdecken kann.