Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 21

Zu einem $\sigma$-endlichen Maßraum $X$ und einer reellen Zahl  $p\ge 1$  sind die Lebesgueräume $L^p(X)$ nach dem Satz von Fischer-Riesz vollständige normierte Vektorräume. Wir haben schon erwähnt, dass dabei $L^2(X)$ eine besondere Rolle spielt. Dies beruht darauf, dass man zu integrierbaren Funktionen

$f,g:X⟶𝕂$

das Integral ${\int }_{X}f\bar{g}d\mu$ betrachten kann, das ein Skalarprodukt definiert, dessen zugehörige Norm gerade die $L^2$-Norm ist (siehe auch Beispiel 32.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))). Diese zusätzliche Struktur erlaubt es, über Winkel, Orthogonalität, orthogonale Projektion etc. auch im Kontext von Funktionen zu sprechen. Der theoretische Rahmen wird durch das Konzept eines Hilbertraumes abgesteckt.

Hilberträume

Definition

Ein $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.

Endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume mit einem Skalarprodukt sind vollständig nach Aufgabe 36.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), also Hilberträume. Der Begriff ist insbesondere für unendlichdimensionale Vektorräume relevant.

Lemma

Ein Untervektorraum  $U\subseteq V$  eines $𝕂$-Hilbertraumes $V$

ist genau dann ein Hilbertraum, wenn er abgeschlossen in $V$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 21.9.

$◻$

Wir halten die folgende Aussage über den Raum der quadratintegrierbaren Funktionen fest.

Lemma

Es sei $(X,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum.

Dann ist der Lebesgueraum $L^2(X)$ der quadratintegrierbaren Funktionen, versehen mit dem Skalarprodukt

$⟨f,g⟩:={\int }_{X}f\bar{g}d\mu ,$

ein Hilbertraum.

Beweis

Wir argumentieren zuerst auf der Ebene von ${ℒ}^2(X)$. Zu quadratintegrierbaren Funktionen $f,g$ zeigt die Höldersche Abschätzung

${\int }_{X}f\bar{g}d\mu \le \Vert f{\Vert }_2\cdot \Vert g{\Vert }_2,$

dass das angegebene Integral endlich ist. Mit Lemma 16.6 folgt, dass sein Wert unabhängig von den gewählten Repräsentanten sind und eine Funktion auf $L^2(X)\times L^2(X)$ definiert. Eigenschaften des Integrals wie Satz 10.6 sichern, dass ein Skalarprodukt vorliegt. Die Vollständigkeit ergibt sich aus dem Satz von Fischer-Riesz.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß, siehe Beispiel 16.2 und Beispiel 16.11. Der zugehörige Raum der quadratsummierbaren Folgen besitzt das Skalarprodukt

$⟨f,g⟩=\sum _{n\in \mathbb{N}}{f}_n\overline{g_n},$

die Norm eines Elementes ist

$\Vert f\Vert =\sqrt{\sum _{n\in \mathbb{N}}|f_n{|}^2}.$

Dieser Hilbertraum wird mit $l_2$ oder mit $L^2(\mathbb{N})$ bezeichnet, man spricht vom Hilbertschen Folgenraum.

Minimaler Abstand

Definition

Eine Teilmenge  $T\subseteq V$  in einem reellen Vektorraum $V$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten  $P,Q\in T$  auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q\text{ mit }r\in [0,1],$

ebenfalls zu $T$ gehört.

Lemma

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei  $T\subseteq V$  eine nichtleere konvexe vollständige Teilmenge.

Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt  $P\in T$,  indem die Norm $\Vert P\Vert$ (unter allen Punkten aus $T$) das Minimum annimmt.

Beweis

Es sei $\delta$ das Infimum von

$\{\Vert Q\Vert \mid Q\in T\}\subseteq {ℝ}_{\ge 0}.$

Mit Hilfe von Aufgabe 32.25 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) erhält man für Punkte  $P,Q\in T$  die Identität

$\Vert P-Q{\Vert }^2=2\Vert P{\Vert }^2+2\Vert Q{\Vert }^2-4\Vert \frac{P+Q}{2}{\Vert }^2.$

Wegen der Konvexität gilt  $\frac{P+Q}{2}\in T$  und daher ist

$\Vert P-Q{\Vert }^2\le 2\Vert P{\Vert }^2+2\Vert Q{\Vert }^2-4{\delta }^2.$

Es seien nun $P,Q$ Punkte, in denen das Infimum angenommen wird. Dann folgt aus

$\Vert P\Vert =\Vert Q\Vert =\delta$

sofort  $\Vert P-Q\Vert =0$  und damit  $P=Q$,  was die Eindeutigkeit bedeutet.

Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von $ℝ$ durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine Folge  $Q_n\in T$  derart, dass $\Vert Q_n\Vert$ gegen $\delta$ konvergiert. Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder $Q_n,Q_m$ die Abschätzung

$\Vert Q_n-Q_m{\Vert }^2\le 2\Vert Q_n{\Vert }^2+2\Vert Q_m{\Vert }^2-4{\delta }^2.$

Da $\Vert Q_n\Vert$ gegen $\delta$ konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig klein wird. Dies bedeutet, dass $Q_n$ eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von $T$ konvergiert die Folge gegen ein  $P\in T$. 

$◻$

Korollar

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei  $U\subseteq V$  ein vollständiger Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem Punkt  $Q\in V$  einen eindeutigen Punkt  $P\in U$,  für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.

Beweis

Wir verschieben die Situation um $-Q$ und haben dann einen vollständigen (da die Verschiebung stetig ist) affinen Unterraum $U-Q$ und betrachten den Abstand zum Nullpunkt. Der Untervektorraum ist konvex und dies überträgt sich auf den verschobenen Untervektorraum. Daher folgt die Aussage aus Lemma 21.6.

$◻$

Korollar

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei  $U\subseteq V$  ein vollständiger Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem  $v\in V$  eine eindeutige Darstellung

$v=u+w$

mit  $u\in U$  und  $w\in U^{\perp }$. 

Beweis

Aus zwei solchen Darstellungen

$v=u+w=u^{\prime }+w^{\prime }$

mit den geforderten Eigenschaften folgt

$0=u-u^{\prime }+w-w^{\prime }=\tilde{u}+\tilde{w},$

wobei die beiden Summanden $\tilde{u}$ und $\tilde{w}=-\tilde{u}$ orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie $0$ sind.

Zum Existenznachweis sei  $u\in U$  der gemäß Korollar 21.7 eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von $v$ zu $U$ minimal wird. Sei

$w=v-u.$

Es ist

$⟨v-u,u^{\prime }⟩=0$

für jedes  $u^{\prime }\in U$  zu zeigen. Wir können  $𝕂=ℝ$  annehmen. Nehmen wir an, dass es ein  $u^{\prime }\in U$  mit

$⟨v-u,u^{\prime }⟩=c\ne 0$

gibt, wobei wir $c$, indem wir eventuell $u^{\prime }$ durch $-u^{\prime }$ ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann

$2⟨v-u,\lambda u^{\prime }⟩+⟨\lambda u^{\prime },\lambda u^{\prime }⟩=2c\lambda +{\lambda }^2⟨u^{\prime },u^{\prime }⟩=\lambda (2c+\lambda ⟨u^{\prime },u^{\prime }⟩),$

was für $\lambda$ positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber

$\begin{array}{cc}⟨v-u+\lambda u^{\prime },v-u+\lambda u^{\prime }⟩& =⟨v-u,v-u⟩+2⟨v-u,\lambda u^{\prime }⟩+⟨\lambda u^{\prime },\lambda u^{\prime }⟩\\ & <⟨v-u,v-u⟩\end{array}$

im Widerspruch dazu, dass der Abstand (und damit das Abstandsquadrat) von $v$ zu $U$ in $u$ minimal wird.

$◻$

Definition

Es sei $V$ ein $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei  $U\subseteq V$  ein vollständiger Untervektorraum. Die Abbildung $p_U:V\to U$, die jedem Element  $v\in V$  das  $u\in U$  aus der nach Korollar 21.8 eindeutigen Zerlegung  $v=u+w$  mit  $u\in U$  und  $w\in U^{\perp }$  zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf $U$.

Wir erwähnen die folgenden Spezialfälle für abgeschlossene Teilmengen in einem Hilbertraum.

Korollar

Es sei $V$ ein $𝕂$-Hilbertraum und sei  $T\subseteq V$  eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.

Dann enthält $T$ einen eindeutigen Punkt  $P\in T$,  in dem die Norm $\Vert P\Vert$ (unter allen Punkten aus $T$) das Minimum annimmt.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Lemma 21.6.

$◻$

Korollar

Es sei $V$ ein $𝕂$-Hilbertraum und sei  $U\subseteq V$  ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem Punkt  $Q\in V$  einen eindeutigen Punkt  $P\in U$,  für den der Abstand von $Q$ zu Punkten aus $U$ minimal wird.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Korollar 21.7.

$◻$

Korollar

Es sei $V$ ein $𝕂$-Hilbertraum und sei  $U\subseteq V$  ein abgeschlossener Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem  $v\in V$  eine eindeutige Darstellung

$v=u+w$

mit  $u\in U$  und  $w\in U^{\perp }$. 

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Korollar 21.8.

$◻$

Insbesondere gibt es zu einem abgeschlossener Untervektorraum  $U\subseteq V$  in einem Hilbertraum die orthogonale Projektion $p_U:V\to U$.

Topologische Eigenschaften

Lemma

Es sei $V$ ein $𝕂$-Hilbertraum und sei  $U\subseteq V$  ein abgeschlossener Untervektorraum mit dem orthogonalen Komplement $U^{\perp }$. Dann gelten folgenden Aussagen.

1. $U^{\perp }$ ist ebenfalls abgeschlossen.
2. Es gilt

   $v=p_U(v)+p_{U^{\perp }}(v).$

3. $p_U$ ist linear und stetig.

Beweis

1. Siehe Aufgabe 21.10.
2. Klar.
3. Eine mehrfache Anwendung von (2) liefert

   $\begin{array}{cc}{p}_U(a_1{v}_1+a_2{v}_2)+p_{U^{\perp }}(a_1{v}_1+a_2{v}_2)& =a_1{v}_1+a_2{v}_2\\ & =a_1{p}_U(v_1)+a_1{p}_{U^{\perp }}(v_1)+a_2{p}_U(v_2)+a_2{p}_{U^{\perp }}(v_2)\\ & =a_1{p}_U(v_1)+a_2{p}_U(v_2)+a_1{p}_{U^{\perp }}(v_1)+a_2{p}_{U^{\perp }}(v_2).\end{array}$

   Die Linearität folgt durch Vergleich der Summanden in $U$ und in $U^{\perp }$. Wegen

   $\begin{array}{cc}\Vert v{\Vert }^2& =⟨v,v⟩\\ & =⟨p_U(v)+p_{U^{\perp }}(v),p_U(v)+p_{U^{\perp }}(v)⟩\\ & =⟨p_U(v),p_U(v)⟩+⟨p_{U^{\perp }}(v),p_{U^{\perp }}(v)⟩\\ & =\Vert p_U(v){\Vert }^2+\Vert p_{U^{\perp }}(v){\Vert }^2\end{array}$

   ist

   $\Vert p_U(v)\Vert \le \Vert v\Vert ,$

   woraus die Stetigkeit mit Satz 15.12 folgt.

$◻$

Die folgende Aussage besagt, dass eine stetige Linearform auf einem Hilbertraum einen Gradienten besitzt. Im endlichdimensionalen Fall, in dem die Stetigkeit automatische erfüllt ist, folgt dies auch aus Lemma 47.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (3). Für eine andere Formulierung dieses Sachverhaltes, den man den Darstellungssatz von Riesz nennt, siehe Aufgabe 21.12.

Lemma

Es sei $V$ ein $𝕂$-Hilbertraum und sei

$\phi :V⟶𝕂$

eine stetige Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor  $x\in V$  mit

$\phi (v)=⟨v,x⟩$

für alle  $v\in V$. 

Beweis

Bei der Nullabbildung ist  $x=0$  zu nehmen, sei also $\phi$ nicht die Nullabbildung. Es sei  $z\in V$  mit  $\phi (z)\ne 0$  und sei  $U=\mathrm{kern}\phi$.  Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass $\phi (z)$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist $U$ ein abgeschlossener Untervektorraum von $V$. Das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ ist eindimensional: Zu  $w,w^{\prime }\in U^{\perp }$  gibt es  $a\in 𝕂$  mit  $\phi (w^{\prime })=a\phi (w)$,  daher ist  $w^{\prime }-aw\in U$  und wegen der Orthogonalität ist  $w^{\prime }-aw=0$.  Wir schreiben

$z=p_U(z)+y$

mit  $p_U(z)\in U$  und  $y\in U^{\perp }$  im Sinne von Korollar 21.12. Es ist  $\phi (z)=\phi (y)$.  Wir setzen

$x:=\frac{\phi (y)}{\Vert y{\Vert }^2}y,$

dies sichert

$\begin{array}{cc}⟨x,x⟩& =⟨\frac{\phi (y)}{\Vert y{\Vert }^2}y,\frac{\phi (y)}{\Vert y{\Vert }^2}y⟩\\ & =\frac{\phi (y{)}^2}{\Vert y{\Vert }^4}⟨y,y⟩\\ & =\frac{\phi (y)}{\Vert y{\Vert }^2}\phi (y)\\ & =\phi (x).\end{array}$

Für  $v\in V$  mit der kanonischen Zerlegung

$v=u+w$

ist dann

$\begin{array}{cc}⟨v,x⟩& =⟨u+w,x⟩\\ & =⟨w,x⟩\\ & =⟨ax,x⟩\\ & =a⟨x,x⟩\\ & =a\phi (x)\\ & =\phi (w)\\ & =\phi (u+w)\\ & =\phi (v).\end{array}$

$◻$

Korollar

Es sei $(X,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und $L^2(X)$ der zugehörige Lebesgueraum der quadratintegriebaren Funktionen. Es sei

$\phi :L^2(X)⟶𝕂$

eine stetige Linearform.

Dann gibt es eine quadratintegrierbare Funktion  $g\in L^2(X)$  mit

$\phi (f)={\int }_{X}f\bar{g}d\mu .$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 21.3 und aus Lemma 21.14.

$◻$

Lemma

Es sei $V$ ein $𝕂$-Hilbertraum und  $T\subseteq V$  eine Teilmenge.

Dann erzeugt $T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in $V$, wenn die Eigenschaft

$⟨v,w⟩=0$

für alle  $w\in T$  nur für  $v=0$  gilt.

Beweis

Es erzeuge zuerst $T$ einen dichten Untervektorraum $U$ und sei  $v\in V$  gegeben mit

$⟨v,w⟩=0$

für alle  $w\in T$.  Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle  $w\in U$.  Wegen der Dichtheit von $U$ gibt es eine Folge  $w_n\in U$,  die gegen $v$ konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge  $⟨v,w_n⟩=0$  gegen  $⟨v,v⟩=0$.  also ist  $v=0$. 

Es erzeuge nun $T$ einen Untervektorraum $U$, der nicht dicht sei, es sei

$W=\bar{U}$

und sei  $z\in V\setminus W$.  Es sei  $z=y+v$  die Zerlegung im Sinne von Korollar 21.12 mit  $y\in W$  und  $v\in W^{\perp }$.  Dann ist

$v\ne 0,$

dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus $W$.

$◻$

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