Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 4/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 4.1 ändern

Zeige, dass ein äußeres Maß die Subadditivitätseigenschaft für beliebige abzählbare Vereinigungen besitzt.

Aufgabe Aufgabe 4.2 ändern

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$,

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein äußeres Maß auf ${}M$ und ${}{\tilde {\mu }}$ die Fortsetzung von ${}\mu$ auf die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$. Zeige, dass für jede Teilmenge ${}S\subseteq M$ die Beziehung

${}{\tilde {\mu }}(S)\leq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Infimum über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die ${}\mathbb {Z}$ überdecken.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zu jeder rationalen Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ sei ein Intervall ${}[a_{q},b_{q}]$ derart gegeben, dass ${}q$ in dessen Innern liegt, also ${}q\in {]a_{q},b_{q}[}$. Ist

${}\bigcup _{q\in \mathbb {Q} }[a_{q},b_{q}]=\mathbb {R} \,?$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Infimum über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die ${}\mathbb {Q}$ überdecken.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine abzählbare Menge. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Volumina der beteiligten offenen Intervall-Quader zu Überpflasterungen von ${}T$ aus solchen Quadern gleich ${}0$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T=\mathbb {Z} \times \mathbb {R}$. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Flächen zu Überpflasterungen von ${}T$ mit offenen Rechtecken gleich ${}0$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T=\mathbb {Q} \times \mathbb {R}$. Zeige, dass das Infimum über die Summe der Flächen zu Überpflasterungen von ${}T$ mit offenen Rechtecken gleich ${}0$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ihr Graph. Zeige, dass das Infimum der Summen der Rechtecksinhalte über alle Überpflasterungen von ${}\Gamma$ mit achsenparallelen Rechtecken gleich ${}0$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine Riemann-integrierbare Funktion und ${}T$ der (abgeschlossene) Subgraph von ${}f$. Zeige, dass das äußere Maß von ${}T$ (zu dem Rechtecksprämaß) gleich dem bestimmten Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)dt$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche „vertrauten geometrischen Figuren“ kann man als (verallgemeinerte) Quader in ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ oder in ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}$ auffassen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}T\subseteq M\times N$ eine Teilmenge. Zu ${}x\in M$ sei ${}T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}$. Zeige, dass ${}\{x\}\times T(x)$ die Faser der Hintereinanderschaltung

$T\hookrightarrow M\times N{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}M$

über ${}x$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von ${}M\times N$ seien mit der durch ${}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ induzierten ${}\sigma$- Algebra versehen. Es sei ${}S\subseteq M$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}S$ ist eine messbare Teilmenge von ${}M$.
2. Es gibt ein ${}y\in N$ derart, dass ${}S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$ messbar ist.
3. Für alle ${}y\in N$ ist ${}S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$ messbar.
4. Es gibt ein ${}y\in N$ derart, dass ${}S\times \{y\}$ messbar in ${}M\times N$ ist.
5. Für alle ${}y\in N$ ist ${}S\times \{y\}$ messbar in ${}M\times N$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$

eine messbare Teilmenge im Produktraum ${}X\times X$ ist.

Aufgabe Aufgabe 4.15 ändern

Es seien ${}M,N_{1},N_{2}$ Messräume und es seien ${}f_{1}\colon M\rightarrow N_{1}$ und ${}f_{2}\colon M\rightarrow N_{2}$ messbare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

$(f_{1},f_{2})\colon M\longrightarrow N_{1}\times N_{2},\,x\longmapsto (f_{1}(x),f_{2}(x)),$

messbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}\mathbb {R}$, der die Intervalle ${}[a,b]$, ${}a<b$, enthalte, und es sei ${}\mu$ ein äußeres Maß darauf, das auf diesen Intervallen den Wert ${}b-a$ besitze. Zeige, dass die Fortsetzung dieses äußeren Maßes auf allen abzählbaren Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ den Wert ${}0$ besitzt.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine stetige Funktion derart, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f(t)dt$ existiert.

1. Zeige, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ obere Treppenfunktionen ${}T_{n}$ zu ${}f$ auf ${}[n-1,n]$ derart gibt, dass die Gesamtdifferenz

   ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}\int _{n-1}^{n}T_{n}(t)dt-\int _{0}^{\infty }f(t)dt\leq \epsilon \,$

   erfüllt.

2. Man gebe ein Beispiel einer solchen Funktion ${}f$ derart, dass es keine solche Approximation mit oberen Treppenfunktionen gibt, wenn man zusätzlich fordert, dass sie zu der äquidistanten Unterteilung der Intervalle ${}[n-1,n]$ zu einem festen Stammbruch ${}{\frac {1}{k}}$ (unabhängig von ${}n$) gehören.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Urbild der Einheitskreisscheibe ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ unter den Inklusionsabbildungen

$\iota _{y}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x,y).$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten ${}\sigma$- Algebren. Zeige, dass die Produkt-${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$ die kleinste ${}\sigma$-Algebra auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ ist, für die alle Projektionen messbar sind.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}X$ und ${}Y$ zwei topologische Räume mit abzählbarer Basis der Topologie und mit den zugehörigen ${}\sigma$- Algebren der Borelmengen ${}{\mathcal {B}}(X)$ und ${}{\mathcal {B}}(Y)$. Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem Produktraum ${}X\times Y$ mit dem Produkt von ${}{\mathcal {B}}(X)$ und ${}{\mathcal {B}}(Y)$ übereinstimmt.