Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 12
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren und Koeffizienten die Beziehung
gilt.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei versehen mit der Vektorraumstruktur des Produktraumes (siehe Aufgabe 10.1). Betrachte die Skalarmultiplikation
Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien
lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.
- Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
- Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
- Für einen Unterraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
- Insbesondere ist ein Untervektorraum von .
Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung
aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?
Zeige, dass die Abbildungen
und
-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation -linear, aber nicht -linear ist. Ist der Betrag
-linear?
Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
Es sei ein Körper. Zu seien - Vektorräume und sowie lineare Abbildungen
gegeben. Zeige, dass dann auch die Produktabbildung
eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist.
Es sei ein Körper und es seien und zwei - Vektorräume. Es sei
eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung
linear ist.
Zeige durch ein Beispiel von zwei Basen und im , dass die Koordinatenfunktion von der Basis und nicht nur von abhängt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass der Homomorphismenraum
ein -Vektorraum ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass für die Abbildung
die folgenden Beziehungen gelten.
- ist injektiv genau dann, wenn linear unabhängig sind.
- ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
- ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum des Produktraumes ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Auf dem reellen Vektorraum
der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen
und
Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für , für und für .[2]
Aufgabe (2 Punkte)
Betrachte die Abbildung
die eine rationale Zahl auf schickt und die alle irrationalen Zahlen auf schickt. Ist dies eine lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?
Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.
Es seien und Gruppen. Eine Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
Aufgabe (4 Punkte)
- Fußnoten
- ↑ Eine solche Abbildung heißt Homothetie oder Streckung mit dem Streckungsfaktor .
- ↑ Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.
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