Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ und Koeffizienten $s_{1}, \dots, s_{n} \in K$ die Beziehung

φ (\sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} s_{i} φ (v_{i})

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Zeige, dass zu $a \in K$ die Abbildung

V ⟶ V, v ⟼ a v,

linear ist.^[1]

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Zeige, dass zu $v \in V$ die Abbildung

K ⟶ V, λ ⟼ λ v,

linear ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei $K \times V$ versehen mit der Vektorraumstruktur des Produktraumes (siehe Fakt *****). Betrachte die Skalarmultiplikation

K \times V ⟶ V, (λ, v) ⟼ λ v .

Handelt es sich hierbei um eine lineare Abbildung?

Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Satz 12.3 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und seien $U, V, W$ Vektorräume über $K$ . Es seien

φ : U \to V und ψ : V \to W

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

ψ \circ φ : U ⟶ W

eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

Für einen Untervektorraum $S \subseteq V$ ist auch das Bild $φ (S)$ ein Untervektorraum von $W$ .
Insbesondere ist das Bild $bild φ = φ (V)$ der Abbildung ein Untervektorraum von $W$ .
Für einen Unterraum $T \subseteq W$ ist das Urbild $φ^{- 1} (T)$ ein Untervektorraum von $V$ .
Insbesondere ist $φ^{- 1} (0)$ ein Untervektorraum von $V$ .

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung

f : ℝ ⟶ ℝ,

g : ℝ ⟶ ℝ^{2},

h : ℝ^{2} ⟶ ℝ

aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen

ℂ ⟶ ℝ, z ⟼ Re (z),

und

ℂ ⟶ ℝ, z ⟼ Im (z),

$ℝ$ -lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation $ℝ$ -linear, aber nicht $ℂ$ -linear ist. Ist der Betrag

ℂ ⟶ ℝ, z ⟼ | z |,

$ℝ$ -linear?

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume. Zeige, dass $V$ und $W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zu $i \in {1, \dots, n}$ seien $K$ -Vektorräume $V_{i}$ und $W_{i}$ sowie lineare Abbildungen

φ_{i} : V_{i} ⟶ W_{i}

gegeben. Zeige, dass dann auch die Produktabbildung

φ = φ_{1} \times φ_{2} \times \dots \times φ_{n} : V_{1} \times V_{2} \times \dots \times V_{n} ⟶ W_{1} \times W_{2} \times \dots \times W_{n}, (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}) ⟼ (φ_{1} (v_{1}), φ_{2} (v_{2}), \dots, φ_{n} (v_{n})),

eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$ -Vektorräume. Es sei

φ : V ⟶ W

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

φ^{- 1} : W ⟶ V

linear ist.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel von zwei Basen $v, u$ und $v, w$ im $ℝ^{2}$ , dass die Koordinatenfunktion $v^{*}$ von der Basis und nicht nur von $v$ abhängt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Zeige, dass der Homomorphismenraum

{Hom}_{K} (V, W)

ein $K$ -Vektorraum ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$ . Zeige, dass für die Abbildung

φ : K^{n} ⟶ V, (s_{1}, \dots, s_{n}) ⟼ \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i},

die folgenden Beziehungen gelten.

$φ$ ist injektiv genau dann, wenn $v_{1}, \dots, v_{n}$ linear unabhängig sind.
$φ$ ist surjektiv genau dann, wenn $v_{1}, \dots, v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
$φ$ ist bijektiv genau dann, wenn $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum des Produktraumes $V \times W$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum $G = ℝ^{4}$ der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

π : G ⟶ ℝ, (\begin{matrix} z \\ n \\ r \\ s \end{matrix}) ⟼ 8 z + 9 n + 5 r + s,

und

κ : G ⟶ ℝ, (\begin{matrix} z \\ n \\ r \\ s \end{matrix}) ⟼ 2 z + n + 4 r + 8 s .

Wir stellen uns $π$ als Preisfunktion und $κ$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für $kern π$ , für $kern κ$ und für $kern (π \times κ)$ .^[2]

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Abbildung

f : ℝ ⟶ ℝ,

die eine rationale Zahl $q \in ℚ$ auf $q$ schickt und die alle irrationalen Zahlen auf $0$ schickt. Ist dies eine lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es seien $(G, \circ, e_{G})$ und $(H, \circ, e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

ψ : G ⟶ H

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

ψ (g \circ g^{'}) = ψ (g) \circ ψ (g^{'})

für alle $g, g^{'} \in G$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ $ℚ$ -Vektorräume und sei

φ : V ⟶ W

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $φ$ bereits $ℚ$ -linear ist.

Fußnoten

↑ Eine solche Abbildung heißt Homothetie oder Streckung mit dem Streckungsfaktor $a$ .
↑ Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.

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[1] Eine solche Abbildung heißt Homothetie oder Streckung mit dem Streckungsfaktor $a$ .

[2] Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.

[1]

[2]