Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 20
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion stetig ist.
metrischen Räumen und . Es sei eine Folge in mit einem Häufungspunkt . Zeige, dass ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.
Es sei
eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und und sei . Es sei . Zeige, dass genau dann in stetig ist, wenn die eingeschränkte Abbildung
in stetig ist.
Es sei ein metrischer Raum und sei
eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einer offenen Ballumgebung von gilt.
Zeige, dass auf dem die euklidische Metrik, die Summenmetrik und die Maximumsmetrik dieselben offenen Mengen definieren.
Es sei mit der euklidischen Metrik und mit der diskreten Metrik. Es sei
die Identität. Zeige, dass stetig ist, die Umkehrabbildung aber nicht.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien metrische Räume und seien
Abbildungen. Es sei stetig in und es sei stetig in . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein Untervektorraum im euklidischen Raum . Zeige, dass abgeschlossen im ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel einer Folge im derart, dass die beiden Komponentenfolgen und jeweils mindestens einen Häufungspunkt besitzen, die Folge selbst aber nicht.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
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