Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 20

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und metrische Räume und . Zeige, dass die konstante Abbildung

stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die Identität

stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion stetig ist.


Aufgabe

Es sei
eine stetige Abbildung zwischen den

metrischen Räumen und . Es sei eine Folge in mit einem Häufungspunkt . Zeige, dass ein Häufungspunkt der Bildfolge ist.


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und und sei . Es sei . Zeige, dass genau dann in stetig ist, wenn die eingeschränkte Abbildung

in stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Addition

und die Multiplikation

stetig sind.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einer offenen Ballumgebung von gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

deren Graph nicht abgeschlossen in ist.


Aufgabe

Zeige, dass auf dem die euklidische Metrik, die Summenmetrik und die Maximumsmetrik dieselben offenen Mengen definieren.


Aufgabe

Es sei mit der euklidischen Metrik und mit der diskreten Metrik. Es sei

die Identität. Zeige, dass stetig ist, die Umkehrabbildung aber nicht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien metrische Räume und seien

Abbildungen. Es sei stetig in und es sei stetig in . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

stetig in ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Untervektorraum im euklidischen Raum . Zeige, dass abgeschlossen im ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge, wobei

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Folge im derart, dass die beiden Komponentenfolgen und jeweils mindestens einen Häufungspunkt besitzen, die Folge selbst aber nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm

eine stetige Abbildung ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph von abgeschlossen in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

die nicht stetig ist, deren Graph aber abgeschlossen in ist.



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