Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 21

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und seien reelle Zahlen. Es seien

und

stetige Abbildungen mit . Zeige, dass dann die Abbildung

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Betrachte die Funktion mit

Zeige mit jeder der Charakterisierungen aus Satz 20.3, dass diese Funktion nicht stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion mit

in keinem Punkt stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.


Aufgabe

Es sei ein nichtleeres reelles Intervall und ein Punkt. Bestimme die Teilmengen von , die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und sei mit nichtleeren Teilmengen und . Es gebe ein mit

Zeige, dass (und auch ) sowohl offen als auch abgeschlossen ist.


Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.


Ein nichtleerer metrischer Raum heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung

mit und gibt.


Aufgabe


Aufgabe

Zeige, dass der wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Sei und ein Punkt. Zeige, dass wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Sei eine offene (oder abgeschlossene) Kugel im . Zeige, dass wegzusammenhängend ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass mindestens einen Eigenvektor besitzt.


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.


Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls in sich. Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein metrischer Raum. Betrachte die folgende Relation auf : Es ist

Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien , , und sei

der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Es sei eine Gerade in mit der Eigenschaft, dass es auf mindestens einen Punkt gibt mit . Zeige, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe (8 Punkte)

Ein Billardtisch sei cm breit und cm lang, die Kugeln haben einen Radius von cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis[1] mit Radius cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (5 Punkte)

Fertige in der Situation der Aufgabe 21.20 eine hochladbare Grafik an, die auf dem Billardtisch die Linien von gleichem Schwierigkeitsgrad (also gleicher Winkeltoleranz zum Einlochen) zeigt.




Fußnoten
  1. Diese Aufgabe ergibt auch Sinn, wenn die Löcher volle Kreise um die Eckpunkte sind, hat aber ein anderes Ergebnis.


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