Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 19

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

  1. Die leere Menge und die Gesamtmenge sind offen.
  2. Es sei eine beliebige Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung
    offen.
  3. Es sei eine endliche Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt
    offen.


Aufgabe *

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln abgeschlossen sind.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit


Aufgabe

Zeige, dass die Summenmetrik im eine Metrik ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsmetrik im eine Metrik ist.


Aufgabe

Zeige, dass auf jeder Menge die diskrete Metrik in der Tat eine Metrik ist.


Aufgabe

Sei eine Menge, die mit der diskreten Metrik versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von sowohl offen als auch abgeschlossen ist.


Aufgabe *

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge divergiert.


Neighborhood edge.png

Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.


Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Randpunkt von , wenn für jedes der offene Ball

sowohl Punkte aus als auch Punkte aus enthält.

Die Menge aller Randpunkte von heißt Rand von , geschrieben .


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von abgeschlossen ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge

offen ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von genau dann leer ist, wenn sowohl offen als auch abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

in abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen in weder offen noch abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen in abgeschlossen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge abgeschlossen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge genau dann offen in ist, wenn es eine in offene Menge mit gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem metrischen Raum genau einen Häufungspunkt besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zeige, dass ein Punkt genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen konvergente Teilfolge gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann abgeschlossen ist, wenn die Inklusion gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und zwei verschiedene Punkte im und die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass abgeschlossen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in . Zeige, dass die Menge aller Häufungspunkte dieser Folge abgeschlossen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Häufungspunkte der komplexen Folge . Man gebe für jeden Häufungspunkt eine Teilfolge an, die gegen diesen Punkt konvergiert.


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe eine Folge reeller Zahlen derart an, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge ist.



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