Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 55/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche linearen Vektorfelder

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto Mv,$

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

1. Der Nullraum ${}0\subseteq V$ ist ${}\varphi$- invariant.
2. ${}V$ ist ${}\varphi$- invariant.
3. Eigenräume sind ${}\varphi$-invariant.
4. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ ${}\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch ${}U_{1}\cap U_{2}$ und ${}U_{1}+U_{2}$ ${}\varphi$-invariant.
5. Es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum ${}\varphi (U)$ und der Urbildraum ${}\varphi ^{-1}(U)$ ${}\varphi$-invariant.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$. Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in ${}V$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

derart gibt, dass diese Fahne die einzige ${}\varphi$- invariante Fahne ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und ${}v\in V$. Zeige, dass der kleinste ${}\varphi$- invariante Unterraum von ${}V$, der ${}v$ enthält, gleich

$\langle \varphi ^{n}(v),\,n\in \mathbb {N} \rangle$

ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

${}U={\left\{v\in V\mid {\text{ es gibt ein }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}\varphi ^{n}(v)=0\right\}}\,$

definierte Teilmenge von ${}V$ ein ${}\varphi$- invarianter Unterraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Definiere: eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung (homogen/inhomogen; mit konstanten Koeffizienten). Zeige, dass eine solche lineare Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem entsprechenden linearen Differentialgleichungssystem wie in Lemma 54.8 äquivalent ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}5&-1&3\\7&9&8\\6&2&-7\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann ${}f$ sogar diagonalisierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine reelle ${}2\times 2$-Matrix, die über ${}\mathbb {R}$ nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass ${}M$ über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&3&4\\0&2&5\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }=-ay\,$

(mit ${}a>0$) und der Anfangsbedingung ${}y(0)=x$ und ${}y'(0)=v$.

Die für ${}t\in \mathbb {R}$, ${}-1<t<1$, und ein ${}n\in \mathbb {N}$ definierte lineare Differentialgleichung

$y^{\prime \prime }-{\frac {2t}{1-t^{2}}}y'+{\frac {n(n+1)}{1-t^{2}}}y=0$

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter ${}n$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom

${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}$

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ${}n$ ist.