Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/34/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 3 2 3 2 4 3 4 4 3 2 7 3 3 5 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  3. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  4. Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  5. Der -te Standardvektor im .
  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Die Menge

    heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

  2. Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .
  3. Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch
  4. Zur oberen Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

    eine oberes Treppenintegral von auf .

  5. Der Vektor

    wobei die an der -ten Stelle steht, heißt -ter Standardvektor.

  6. Ein Element , , heißt ein Eigenvektor von , wenn

    mit einem gewissen gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  2. Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion .
  3. Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen.


Lösung

  1. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
  2. Es sei eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
    1. Die Funktion ist genau dann wachsend (bzw. fallend), wenn (bzw. ) für alle ist.
    2. Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng wachsend.
    3. Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng fallend.
  3. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    1. .
    2. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
    3. ist invertierbar.
    4. .


Aufgabe (2 Punkte)

Die Partei „Zukunft für alle“ hat zwei Ziele.

  1. Millionäre entschädigungslos enteignen.
  2. Ein bedingungsloses monatliches Grundeinkommen von Euro für jeden Erwachsenen.

Hans hat mit Geld nichts am Hut, er ist jetzt gerade geworden und lebt allein auf einem kleinen Bauernhof als Selbstversorger, ohne Einnahmen, ohne Ausgaben, und das soll in seinem Leben auch so bleiben. Vorausgesetzt, das Parteiprogramm wird Gesetz, wie alt muss Hans (in Jahren und Monaten) werden, bis er enteignet wird?


Lösung

Er wird enteignet, wenn das angesammelte Grundeinkommen die Millionengrenze erstmals überschreitet. Im Jahr bekommt er Euro. Es ist

Jahre, also braucht er Jahre und Monate. Er muss also einhalb Jahre alt werden.


Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) Stunden nach vorne, dann Stunden zurück, dann Stunden zurück, dann Stunden nach vorne und dann Stunden zurück.

  1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
  2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?


Lösung

  1. Wir rechnen

    also Stunden zurück.

  2. Insgesamt reist sie

    Stunden, das verbraucht also Minuten, also eine Stunde und elf Minuten. Daher befindet sie sich am Ende der Zeitreise im Zeitpunkt vor Stunden und Minuten.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .


Lösung

Betrachte das Polynom

Die Koeffizienten liegen in , aber nicht in . Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl einsetzt, so ist genau eine der Zahlen und gerade. Also ist ganzzahlig.


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.


Lösung

Spiral of Theodorus.svg

Dies geht mit der Spirale des Theodorus. Wenn man die (bereits konstruierte) Quadratwurzel als eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks nimmt mit einer zweiten Kathete der Länge , so erhält man eine Hypotenuse der Länge .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

für jedes absolut konvergiert.


Lösung

Wir wenden das Quotientenkriterium an, woraus dann die absolute Konvergenz folgt. Dazu betrachten wir den Quotienten aus zwei aufeinander folgenden Gliedern der Reihe (bei ist die Aussage klar, sei also ), also

Zu einem gegebene gibt es ein mit

Dies gilt dann auch für alle , so dass man ab das Quotientenkriterium anwenden kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

streng wachsende Funktionen, die auf übereinstimmen. Folgt daraus ?


Lösung

Wir betrachten die beiden Funktionen

und

Beide Funktionen sind streng wachsend und stimmen auf und insbesondere auf überein. Es ist aber , so dass die beiden Funktionen verschieden sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.


Lösung

Bei konstantem Flächeninhalt ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge bestimmt, die andere Seitenlänge ist und der Umfang ist . Für das Quadrat ist

mit Umfang . Es ist also

zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

und zu

bzw. zu

was wegen

erfüllt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die positiven reellen Zahlen mit den Verknüpfungen

als neuer Addition und

als neuer Multiplikation. Ist mit diesen Verknüpfungen (und mit welchen neutralen Elementen) ein Körper?


Lösung

Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion zur Basis , also die Abbildung

Diese Abbildung ist bijektiv, da wir den Bildbereich entsprechend eingeschränkt haben, mit dem natürlichen Logarithmus als Umkehrabbildung. Unter dieser Abbildung gilt

d.h. die Addition wird auf die neue Addition abgebildet, und

d.h. die Multiplikation wird auf die neue Addition abgebildet. Unter dieser Abbildung bleiben alle Gesetzmäßigkeiten erhalten, deshalb ist mit den neuen Verknüpfungen ebenfalls ein Körper. Die neutralen Elemente sind die Bilder der neutralen Elemente, d.h. die ist neutrales Element der neuen Addition und ist neutrales Element der neuen Multiplikation.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die -fache Hintereinanderschaltung ()

die Beziehung

gilt.


Lösung

Der Induktionsanfang für ist gesichert wegen

Sei die Aussage für die -te Hintereinanderschaltung schon bewiesen. Dann gilt unter Verwendung der Kettenregel (mit als äußerer und als innerer Funktion) und der Induktionsvoraussetzung die Beziehung

was die Aussage beweist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Satz 14.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) anwenden und erhalten mit Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))


Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

  1. Bestimme die reellen Nullstellen von .
  2. Bestimme die Extrema von .
  3. Bestimme den Flächeninhalt, der durch den Graphen und die -Achse eingegrenzt wird.


Lösung

  1. Wir schreiben und lösen die Gleichung

    Diese führt auf

    und damit sind die reellen Nullstellen von gleich .

  2. Die Ableitung von ist

    Die Ableitung besitzt also drei Nullstellen bei

    Die zweite Ableitung ist und besitzt im Nullpunkt einen negativen Wert und in einen positiven Wert. Deshalb liegt in ein isoliertes lokales Maximum und in liegen isolierte lokale Minima vor. Für gegen geht die Funktion gegen , daher sind die beiden Minima global mit dem gleichen Wert (wegen der Symmetrie) und das lokale Maximum ist nicht global.

  3. Da es zwischen und keine Nullstelle gibt, verläuft der Graph in diesem Intervall unterhalb der -Achse. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist der Betrag des bestimmten Integrals
    also gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Lösung

Wir rechnen

und

Somit ist

Daraus ergibt sich , aus ergibt sich und aus ergibt sich .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und quadratische Matrizen der Länge . Es gelte für und für für gewisse . Zeige, dass die Einträge des Produktes die Bedingung für erfüllen.


Lösung

Es ist

Die Summanden links sind gleich , da für ist. Es sei nun vorausgesetzt. Dann gilt für die Indizes im rechten Summanden

und

also ist und auch die rechten Summanden sind .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Lösung

Es ist

Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist

Es ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -Vektorraum und eine lineare Abbildung , die injektiv, aber nicht surjektiv ist.


Lösung

Wir betrachten den Vektorraum mit der Basis , . Wir betrachten die durch den Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung, die das Basiselement auf schickt. Dann wird nicht getroffen und die Abbildung ist daher nicht surjektiv. Eine Linearkombination wird dabei auf abgebildet, und dies ist nur dann , wenn alle Koeffizienten sind. Somit ist nach dem Kernkriterium diese lineare Abbildung injektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung zu einem Drehwinkel , , über .


Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Die Nullstellen davon sind

und