Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 5 4 6 4 3 5 6 10 4 5 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
  2. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  3. Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem

    zu einem Vektorfeld

    auf einer offenen Teilmenge .

  4. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).

  5. Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Eine Quader-Überpflasterung einer Teilmenge .


Lösung

  1. Eine Differentialgleichung der Form

    mit zwei auf einem Intervall definierten Funktionen und heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

  2. Zu einem Vektor nennt man

    die Norm von .

  3. Unter einer Lösung des Anfangswertproblems versteht man eine Abbildung

    auf einem Intervall mit für alle und mit .

  4. Die lineare Abbildung mit der Eigenschaft

    (wobei eine in stetige Abbildung mit ist) heißt das totale Differential von an der Stelle .

  5. Die Abbildung

    heißt die Hesse-Form im Punkt .

  6. Eine Quader-Überpflasterung von ist eine Familie von (achsenparallelen) Quadern , , mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
  2. Die Kettenregel für differenzierbare Kurven.
  3. Der Satz über implizite Abbildungen.


Lösung

  1. Es sei

    eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen

    und

    wobei keine Nullstelle besitze. Es sei eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Weiter sei ein Teilintervall mit . Dann ist eine bijektive Funktion auf sein Bild und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form

  2. Es seien und zwei reelle Intervalle, es sei

    eine in differenzierbare Funktion und es sei

    eine in differenzierbare Kurve in einen euklidischen Vektorraum . Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve

    in differenzierbar und es gilt

  3. Sei offen und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das totale Differential sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

    derart, dass ist und eine Bijektion

    induziert.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung.


Lösung

Bei ist die Aussage richtig. Sei also und damit auch . Damit hat man die Abschätzungen

Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.


Aufgabe (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Lösung

Der Vektor besitzt die Norm , somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz

so dass

und ist. Der normierte Vektor dazu ist

Der dritte Vektor muss senkrecht auf und stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar . Daher kann man

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.


Lösung

Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also annehmen. Aufgrund von Lemma 36.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) können wir annehmen. Die Abbildung sei durch

mit gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei . Es sei und ein vorgegeben. Für alle mit ist insbesondere für alle und daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

die nicht rektifizierbar ist.


Lösung

Wir betrachten die Funktion

die offenbar bijektiv ist. Um zu zeigen, dass nicht rektifizierbar ist, wählen wir zu irrationale Zahlen , , mit

All diese Zahlen nehmen wir als Intervallunterteilung. Für ist die Summe der Länge der Abstände der Bildpunkte mindestens

da ja in diesem Bereich

gilt. Da beliebig groß gewählt werden kann, ist das Supremum über alle Streckenzuglängen unendlich und die Kurve ist nicht rektifizierbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

und

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Lösung

Wir machen den Ansatz

wegen der Anfangsbedingung ist ja direkt . Die Ableitung ist

das führt auf die Gleichung

Daraus kann man

ablesen, sodann

und daher

also

Der Potenzreihenansatz liefert also bis zur Ordnung die Lösung


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten ein Vektorfeld

der Form

mit einer stetigen Funktion .

  1. Zeige, dass für jeden Punkt der Richtungsvektor senkrecht auf dem Ortsvektor steht.
  2. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass konstant ist.
  3. Es sei

    eine Lösung der Differentialgleichung

    in der einen Variablen . Zeige, dass

    eine Lösung der Differentialgleichung ist.


Lösung

  1. Es ist
    als ist der Richtungsvektor senkrecht zum Ortsvektor.
  2. Es ist
    deshalb ist konstant.
  3. Es ist


Aufgabe (6 (4+2) Punkte)

  1. Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

    im Punkt in Richtung mit einer direkten Limesbetrachtung unter Verwendung der Regel von Hospital .

  2. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe des totalen Differentials.


Lösung

  1. Wir müssen untersuchen, ob und wohin der Differenzenquotient
    für konvergiert. Wir leiten Zähler und Nenner ab und erhalten den neuen Quotienten

    Hier konvergiert der Nenner für gegen und der Gesamtbruch gegen . Nach Hospital konvergiert dann auch der Differenzenquotient gegen .

  2. Die partiellen Ableitungen sind

    Im Punkt ergibt dies das totale Differential

    und angewendet auf den Richtungsvektor ergibt dies aufgrund von Proposition 48.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) die Richtungsableitung


Aufgabe (10 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion


Lösung

Wir bestimmen zunächst lokale Extrema auf dem offenen Innern der Kreisscheibe, indem wir die Funktion auf kritische Punkte untersuchen. Die Jacobi-Matrix von ist

Die kritischen Punkte liegen also bei und vor. Für die Gleichung sind und die Lösungen, wobei der Punkt nicht zum Innern (aber zum Rand) gehört, der Punkt aber schon. Für bestimmen wir die Hesse-Matrix, diese ist allgemein

so dass sich für die Hesse-Matrix

ergibt. Diese hat den Typ , so dass diese Matrix indefinit ist und kein lokales Extremum vorliegt. Daher liegen sämtliche lokalen und globalen Extrema auf dem Rand.

Die Funktion lässt sich auf ganz in natürlicher Weise ausdehnen (durch dieselben polynomialen Ausdrücke). Für den kritischen Punkt ist die Hesse-Matrix gleich

welche positiv definit ist. Daher liegt in ein lokales Minimum der ausgedehnten Funktion und damit erst recht ein lokales Minimum der auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definierten Funktion vor.

Wir untersuchen nun den Rand auf weitere Extrema. Da die Funktion auf einer abgeschlossenen und beschränkten Menge definiert und stetig ist, muss es sowohl ein globales Minimum als auch ein globales Maximum geben. Der Rand ist durch

gegeben. Daher gilt dort und somit hängt die Funktion auf dem Rand nur von ab, man kann daher

ansetzen, wobei zwischen und läuft. Da ein lokales Extremum auf der abgeschlossenen Kreisscheibe insbesondere ein lokales Extremum auf dem Rand sein muss, müssen wir zunächst die Nullstellen der Ableitung von bestimmen. Diese ist , und die Nullstellen davon sind

Dabei ist

außerhalb des Intervalls, also nicht relevant für die Aufgabenstellung. Dagegen ist

zwischen und . Da die zweite Ableitung in diesem Punkt negativ ist, liegt dort ein lokales Maximum auf dem Rand vor. Weiterhin sind noch die Randpunkte und des Intervalls zu berücksichtigen, dort müssen jeweils lokale Minima für vorliegen.

Wir müssen dies jetzt auf die ursprüngliche Funktion auf der Kreisscheibe zurückübersetzen. Wir wissen schon, dass in ein lokales Minimum vorliegt, und zwar mit dem Wert

Sei . Der Wert an dieser Stelle ist ebenfalls . Da diese beiden Punkte die einzigen Kandidaten für lokale Minima sind, müssen beide Punkte globale Minima sein.

Wir berechnen die -Koordinaten zu . Es ist

also

und somit

Die beiden Punkte und sind die einzigen Kandidaten für lokale Maxima. Da es ein globales Maximum geben muss, und die Situation für diese beiden Punkte symmetrisch ist, muss in beiden Punkten ein globales Maximum vorliegen.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.


Lösung

Aufgrund der Kettenregel ist


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius cm, der Topf sei cm hoch und auf die Höhe von cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?


Lösung

a) Das Wasser steigt um cm, daher ist das Volumen der Kartoffel gleich

(in Kubikzentimetern).

b) Es wurde dabei die Formel für die Kreisfläche (für die Grundfläche des Topfes), die Produktformel für das Maß einer Produktmenge und das Additivitätsprinzip für disjunkte Teilmengen angewendet.

c) Wegen ist die Kartoffel volumengleich zu einem Würfel, dessen Kantenlänge größer als cm ist. Die Kartoffel ist also ziemlich groß.


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus () dividiert?


Lösung

a) Nach Fubini ist

Der Durchschnittswert ergibt sich, wenn man durch die Grundfläche dividiert, das ist also

b) Es ist

Der Durchschnittswert ist also

c) Es ist

Der Durchschnittswert ist also