Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung. Es sei

${}\varphi (P)=Q\,$

und es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}Q\in M$ ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

$f\circ \varphi$

in ${}P$ ein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}y-z^{3}xe^{xyz},$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ und ${}\left(Df\right)_{P}$ im Punkt ${}P$ den gleichen Gradienten besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist.

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.$

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-y^{2}+x.$

Aufgabe

Betrachte die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.$

1. Bestimme den Vektor ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

2. Es sei

   $E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$

   und es sei ${}\varphi =L{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$. Bestimme den Vektor ${}w\in E$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für ${}P\in G$ und ${}v\in V$ die Beziehung

${}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}\dim _{\!}{\left(V\right)}\geq 2$, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$. Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass in der Abschätzung

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn ${}v$ und ${}w$ linear abhängig sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-xy+\sin y.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die globalen Extrema für die Funktion

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}+xy,$

wobei ${}D\subset \mathbb {R} ^{2}$ das durch die Eckpunkte ${}(0,0),\,(1,0)$ und ${}(0,1)$ gegebene abgeschlossene (volle) Dreieck ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-x+y^{3},$

im Punkt ${}P=(1,1)$ in Richtung des Winkels ${}\alpha \in [0,2\pi ]$. Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+\sin \left(y\right)-xz.$

1. Bestimme den Gradienten ${}G$ von ${}f$ im Punkt ${}P=(0,0,0)\in \mathbb {R} ^{3}$ bezüglich des Standardskalarprodukts ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Es sei

   ${}E={\left\{(x,y,z)\mid 2x-y+3z=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

   und es sei ${}g=f{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}f$ auf ${}E$. Bestimme den Gradienten ${}{\tilde {G}}$ von ${}g$ bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$.

3. Zeige, dass ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$ ist.

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (bis 10 Punkte)

Erstelle eine Graphik, die Beispiel 49.5 illustriert (es sollten der Graph der Funktion, geeignete Längsschnitte und die Nullstellenmenge wiedergegeben werden).