Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 49

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und metrische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei

und es sei

eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

in ein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?


Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

in jedem Punkt .


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.


Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe

Betrachte die Linearform

  1. Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.

  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.


Aufgabe *

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, , offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die globalen Extrema für die Funktion

wobei das durch die Eckpunkte und gegebene abgeschlossene (volle) Dreieck ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

  1. Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .

  3. Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (bis 10 Punkte)

Erstelle eine Graphik, die Beispiel 49.5 illustriert (es sollten der Graph der Funktion, geeignete Längsschnitte und die Nullstellenmenge wiedergegeben werden).




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