Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 24

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe *

Es sei eine Basis eines dreidimensionalen -Vektorraumes .

a) Zeige, dass ebenfalls eine Basis von ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix .

c) Bestimme die Übergangsmatrix .

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt.


Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im .

a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.

b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

Es sei der durch die lineare Gleichung definierte Untervektorraum von , und sei die Einschränkung von auf . Zu gehören Vektoren der Form

Berechne und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

von sowie die beschreibenden Matrizen für bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ).


Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren und Koeffizienten die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.[1]


Aufgabe

Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von nach . Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?

  1. Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
  2. Masse ist Volumen mal Dichte.
  3. Energie ist Masse mal Brennwert.
  4. Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
  5. Energie ist Kraft mal Weg.
  6. Energie ist Leistung mal Zeit.
  7. Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
  8. Ladung ist Stromstärke mal Zeit.


Aufgabe

Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, so dass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen?

  1. Eine Amöbe.
  2. Eine Ameise.
  3. Eine Meise.
  4. Eine Flunder.
  5. Eine Boa constrictor.
  6. Ein Meerschweinchen.
  7. Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat.
  8. Ein sehr guter Limbotänzer.


Aufgabe

Eine lineare Funktion

hat an der Stelle den Wert . Welchen Wert hat sie an der Stelle ?


Aufgabe

Welche der folgenden Funktionen sind linear?

  1. Die reelle Exponentialfunktion.
  2. Die Nullfunktion.
  3. Die konstante Funktion mit dem Wert .
  4. Die Quadratfunktion .
  5. Die Funktion, die jede reelle Zahl halbiert.
  6. Die Funktion, die von jeder reellen Zahl abzieht.


Aufgabe

Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer linearen Abbildung von nach auftreten?

Regular quadrilateral.svg
U+25B1.svg
Regular triangle.svg
Trapezoid2.png
Hexagon.svg
Blancuco.jpg
Zero-dimension.GIF
Segment graphe.jpg
Disk 1.svg
Geometri romb.png


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung mit

gegeben. Berechne


Aufgabe

Lucy Sonnenschein arbeitet als Fahrradkurier und bekommt einen Stundenlohn von €. Am Obststand kosten Himbeeren €, Erdbeeren kosten € und Äpfel € (jeweils pro Hundert Gramm). Beschreibe die Abbildung, die einem Einkauf die Zeit zuordnet, die Lucy für den Einkauf arbeiten muss, als eine Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Es sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

linear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass für die Abbildung

die folgenden Beziehungen gelten.

  1. ist injektiv genau dann, wenn linear unabhängig sind.
  2. ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
  3. ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen

und

-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation -linear, aber nicht -linear ist. Ist der Betrag

-linear?


Aufgabe

Betrachte die Abbildung

die eine rationale Zahl auf schickt und die alle irrationalen Zahlen auf schickt. Ist dies eine -lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?


Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

  1. Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
  3. Für einen Unterraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
  4. Insbesondere ist ein Untervektorraum von .


Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Aufgabe *

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Aufgabe *

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe *

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe

Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung

aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den Kern der Abbildung?


Aufgabe

Es sei eine -Matrix über dem Körper , die zugehörige lineare Abbildung und das (vom Störvektor abhängige) zugehörige lineare Gleichungssystem. Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem Urbild von unter der linearen Abbildung ist.


Aufgabe

Es seien und Vektorräume über einem Körper und seien lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die durch

definierte Abbildung linear ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

die nicht injektiv ist, deren Einschränkung

aber injektiv ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Beschreibe diese Abbildung unter der Bedingung, dass

gilt, mit einer Matrix.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im .

a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.

b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe (3 Punkte)

4-petal motif.svg

Skizziere das Bild der dargestellten Kreise unter der durch die Matrix gegebenen linearen Abbildung vom in sich.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die durch die lineare Gleichung gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

derart, dass das Bild von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

und

Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für , für und für .[2]




Fußnoten
  1. Eine solche Abbildung heißt Homothetie oder Streckung mit dem Streckungsfaktor .
  2. Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.



<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)