Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 24

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im .

a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.

b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren und Koeffizienten die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.[1]


Aufgabe

Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von nach . Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?

  1. Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
  2. Masse ist Volumen mal Dichte.
  3. Energie ist Masse mal Brennwert.
  4. Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
  5. Energie ist Kraft mal Weg.
  6. Energie ist Leistung mal Zeit.
  7. Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
  8. Ladung ist Stromstärke mal Zeit.


Aufgabe

Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, so dass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen?

  1. Eine Amöbe.
  2. Eine Ameise.
  3. Eine Meise.
  4. Eine Flunder.
  5. Eine Boa constrictor.
  6. Ein Meerschweinchen.
  7. Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat.
  8. Ein sehr guter Limbotänzer.


Aufgabe

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass für die Abbildung

die folgenden Beziehungen gelten.

  1. ist injektiv genau dann, wenn linear unabhängig sind.
  2. ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
  3. ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildungen

und

-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation -linear, aber nicht -linear ist. Ist der Betrag

-linear?


Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

  1. Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
  3. Für einen Unterraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
  4. Insbesondere ist ein Untervektorraum von .


Aufgabe *

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe *

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Beschreibe diese Abbildung unter der Bedingung, dass

gilt, mit einer Matrix.


Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Aufgabe

Betrachte die Abbildung

die eine rationale Zahl auf schickt und die alle irrationalen Zahlen auf schickt. Ist dies eine -lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im .

a) Zeige, dass sowohl als auch eine Basis des ist.

b) Es sei derjenige Punkt, der bezüglich der Basis die Koordinaten besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis ?

c) Bestimme die Übergangsmatrix, die den Basiswechsel von nach beschreibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe (3 Punkte)

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Bild und den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die durch die lineare Gleichung gegebene Ebene. Bestimme eine lineare Abbildung

derart, dass das Bild von gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Auf dem reellen Vektorraum der Glühweine betrachten wir die beiden linearen Abbildungen

und

Wir stellen uns als Preisfunktion und als Kalorienfunktion vor. Man bestimme Basen für , für und für .[2]




Fußnoten
  1. Eine solche Abbildung heißt Homothetie oder Streckung mit dem Streckungsfaktor .
  2. Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn.



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