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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 39

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Übungsaufgaben

Von einer Bewegung

sei der Geschwindigkeitsverlauf

bekannt. Ferner sei

bekannt. Bestimme .



Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum unabhängig von der gewählten Basis ist.


Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

wobei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.



Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.



Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld



Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld



Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges



Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld



Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld



Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

im Vektorfeld



Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld



Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.

a) ,

b) ,

c) ,

d) .



Es sei

ein stetiges Vektorfeld und

ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei eine Stammfunktion zu . Zeige



Es sei

ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.



Wir betrachten das identische Vektorfeld

Zeige, dass für je zwei Punkte und für jeden stetig differenzierbaren Weg

mit und das Wegintegral gleich ist.



Es sei eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

  1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares (mit ) und eine stetig differenzierbare Kurve

    mit derart an, dass das Wegintegral nicht ist.

  2. Es sei nun diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

    für jede stetig differenzierbare Kurve mit ist.



Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

stetige Vektorfelder und

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Für ist
  2. Es ist

    wobei den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

  3. Wenn

    ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ist, so ist

    wobei den aneinander gelegten Weg bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld



Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

und das Vektorfeld

a) Berechne das Wegintegral .

b) Es sei

und . Berechne (unabhängig von a))



Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.



Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von nach .



Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das konstante Vektorfeld

Zeige, dass für zwei Punkte und jeden stetig differenzierbaren Weg mit und das Wegintegral gleich ist.



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