- Übungsaufgaben
Von einer Bewegung
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sei der Geschwindigkeitsverlauf
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bekannt. Ferner sei
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bekannt. Bestimme
.
Zeige, dass das Integral zu einer
stetigen Kurve
-
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
unabhängig von der gewählten Basis ist.
Wir betrachten die Abbildung
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Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der
Basis
-
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über
, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Es sei
-
gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
-

Für die Berechnung des Wegintegrals benötigen wir die Ableitung des Weges. Diese ist durch komponentenweises Differenzieren
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Hiermit bekommen wir, durch Einsetzen in die Formel zur Berechnung des Wegintegrals,
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Nach Ausmultiplizieren und dem Ausrechnen des Skalarproduktes, erhalten wir
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was sich nun leicht berechnen lässt.
Diskutieren und Fragen
Es sei
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gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
-

Berechne das Wegintegral
zum Vektorfeld
-
längs des Weges
-
Es sei
-
gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
-

Es sei
-
gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
-

Berechne das
Wegintegral
zur archimedischen Spirale
-
im
Vektorfeld
-
Es seien
natürliche Zahlen.
Wir betrachten die
stetig differenzierbare Kurve
-
Berechne das
Wegintegral längs dieses Weges zum
Vektorfeld
-
Es sei
-
gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zu den folgenden
Vektorfeldern.
a)
,
b)
,
c)
,
d)
.
Benutzen wir die Definition des
Wegintegrals
und die Tatsache, dass das Vektorfeld die Identität ist, erhalten wir
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Würde das Skalarprodukt als Multiplikation interpretiert werden, sieht der Ausdruck unter dem Integral der Ableitung einer quadrierten Funktion sehr ähnlich. Denn für eine differenzierbare Funktion
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gilt mit Hilfe der Kettenregel
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Der Vorfaktor müsste nur noch angepasst werden.
Dass dieser Zusammenhang auch für das Skalarprodukt stimmt, zeigen wir durch nachrechnen.
In der Standardbasis ist
mit den Koordinatenfunktionen
und
.
Damit erhalten wir
-
-
Durch entsprechende Anpassung des Vorfaktors wissen wir demnach, dass
eine Stammfunktion des Ausdrucks unter dem Integral ist. Wir erhalten folglich
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Diskutieren und Fragen
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
euklidischen Vektorraum,
-
stetige Vektorfelder
und
-
eine
(stückweise)
stetig differenzierbare Kurve.
Zeige die folgenden Aussagen.
- Für
ist
-

- Es ist
-

wobei
den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.
- Wenn
-
ein weiterer
(stückweise)
stetig differenzierbarer Weg mit
ist, so ist
-

wobei
den aneinander gelegten Weg bezeichnet.
- Aufgaben zum Abgeben
Wir betrachten die Abbildung
-
Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der
Basis
-
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über
, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Es sei
-
gegeben. Berechne das
Wegintegral
längs dieses Weges zum
Vektorfeld
-

Wir betrachten die
differenzierbare Kurve
-
und das
Vektorfeld
-
a) Berechne das
Wegintegral
.
b) Es sei
-
und
.
Berechne
(unabhängig von a))
Wir betrachten das
Vektorfeld
-
Bestimme das
Wegintegral
längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.
Wir betrachten das
Vektorfeld
-
Bestimme das
Wegintegral
zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von
nach
.
Wir betrachten das konstante
Vektorfeld
-
Zeige, dass für zwei Punkte
und jeden
stetig differenzierbaren Weg
mit
und
das
Wegintegral
gleich
ist.