Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 15/kontrolle
- Aufgaben
Schreibe die folgenden holomorphen Differentialformen auf in der Standardform mit einer holomorphen Funktion auf .
- ,
- ,
- .
Schreibe die folgenden holomorphen Differentialformen auf in der Form mit einer holomorphen Funktion auf .
- ,
- ,
- .
Zeige, dass man die holomorphe Differentialform auf nicht in der Form mit einer holomorphen Funktion auf schreiben kann.
Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche die holomorphen Differentialformen eine Garbe von kommutativen Gruppen bilden.
Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass der Ableitungsoperator
folgende Eigenschaften erfüllt.
- Es ist .
- Es ist für .
- Es gilt die Produktregel
- Für nullstellenfrei ist
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass die Ableitung
genau dann surjektiv ist, wenn ist.
Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass das folgende kommutative Diagramm von Garben von kommutativen Gruppen auf mit exakten Zeilen und Spalten vorliegt.
Dabei steht in der mittleren Horizontalen die Sequenz aus Lemma 15.8 und in der ersten Vertikalen die Sequenz von lokal konstanten Garben zur Exponentialsequenz aus Beispiel 12.3 und in der mittleren Vertikalen die holomorphe Exponentialsequenz, vergleiche Beispiel 11.14. In der unteren Horizontalen steht rechts die logarithmische Ableitung, die eine Einheit auf abbildet.
Zeige, dass für eine höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeit die Sequenz aus Lemma 15.8 nicht exakt ist.
Es sei ein Polynom vom Grad ohne mehrfache Nullstelle und sei die zugehörige riemannsche Wurzelfläche und die zugehörige kompakte riemannsche Fläche im Sinne von Satz 14.11 bzw. Lemma 14.13. Zeige, dass die holomorphe Differentialformen für auf , siehe Lemma 15.10, holomorphe Differentialformen auf ganz sind.
Es seien offene Mengen und
eine holomorphe Funktion. Es sei eine holomorphe Differentialform auf . Zeige, dass für den Rückzug von unter die Beziehung
gilt.
Es seien riemannsche Flächen und sei eine holomorphe Abbildung. Es sei eine holomorphe Differentialform auf und eine holomorphe Funktion auf . Zeige, dass für den Rückzug die Beziehung
gilt.
Es seien riemannsche Flächen und und holomorphe Abbildungen. Zeige, dass für den Rückzug einer holomorphen Differentialform auf die Beziehung
gilt.