Zum Inhalt springen

Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 15/kontrolle

Aus Wikiversity



Aufgaben

Schreibe die folgenden holomorphen Differentialformen auf in der Standardform mit einer holomorphen Funktion auf .

  1. ,
  2. ,
  3. .



Schreibe die folgenden holomorphen Differentialformen auf in der Form mit einer holomorphen Funktion auf .

  1. ,
  2. ,
  3. .



Aufgabe Aufgabe 15.3 ändern

Zeige, dass man die holomorphe Differentialform auf nicht in der Form mit einer holomorphen Funktion auf schreiben kann.



Aufgabe Aufgabe 15.4 ändern

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche die holomorphen Differentialformen eine Garbe von kommutativen Gruppen bilden.



Aufgabe Aufgabe 15.5 ändern

Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass der Ableitungsoperator

folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. Es ist .
  2. Es ist für .
  3. Es gilt die Produktregel
  4. Für nullstellenfrei ist



Aufgabe Aufgabe 15.6 ändern

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass die Ableitung

genau dann surjektiv ist, wenn ist.



Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass das folgende kommutative Diagramm von Garben von kommutativen Gruppen auf mit exakten Zeilen und Spalten vorliegt.

Dabei steht in der mittleren Horizontalen die Sequenz aus Lemma 15.8 und in der ersten Vertikalen die Sequenz von lokal konstanten Garben zur Exponentialsequenz aus Beispiel 12.3 und in der mittleren Vertikalen die holomorphe Exponentialsequenz, vergleiche Beispiel 11.14. In der unteren Horizontalen steht rechts die logarithmische Ableitung, die eine Einheit auf abbildet.



Zeige, dass für eine höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeit die Sequenz aus Lemma 15.8 nicht exakt ist.



Aufgabe * Aufgabe 15.9 ändern

Es sei ein Polynom vom Grad ohne mehrfache Nullstelle und sei die zugehörige riemannsche Wurzelfläche und die zugehörige kompakte riemannsche Fläche im Sinne von Satz 14.11 bzw. Lemma 14.13. Zeige, dass die holomorphe Differentialformen für auf , siehe Lemma 15.10, holomorphe Differentialformen auf ganz sind.



Es seien offene Mengen und

eine holomorphe Funktion. Es sei eine holomorphe Differentialform auf . Zeige, dass für den Rückzug von unter die Beziehung

gilt.



Es seien riemannsche Flächen und sei eine holomorphe Abbildung. Es sei eine holomorphe Differentialform auf und eine holomorphe Funktion auf . Zeige, dass für den Rückzug die Beziehung

gilt.



Es seien riemannsche Flächen und und holomorphe Abbildungen. Zeige, dass für den Rückzug einer holomorphen Differentialform auf die Beziehung

gilt.