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Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 18

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Aufgaben

Es sei eine meromorphe Funktion auf einem Gebiet . Zeige, dass in genau dann eine Nullstelle der Ordnung besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.



Zeige, dass zu einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge auch die Ableitung meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?



Es sei eine riemannsche Fläche. Es sei eine diskrete Teilmenge und eine holomorphe Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist eine meromorphe Funktion.
  2. Für jedes Kartengebiet ist die holomorphe Funktion meromorph.
  3. Es gibt eine offene Überdeckung mit Kartengebieten derart, dass die holomorphen Funktionen meromorph sind.



Es sei eine riemannsche Fläche und sei eine offene Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Einschränkung einer meromorphen Funktion von auf ist meromorph.
  2. Die Zuordnung ist eine Garbe von kommutativen Gruppen auf .
  3. Wenn und zusammenhängend sind, so liegt eine Körpererweiterung

    vor.



Bestimme zur Garbe der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche den Halm in einem beliebigen Punkt .


Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 1.11.


Es sei eine offene Kreisscheibe und . Es sei eine meromorphe Funktion auf und seien meromorphe Funktionen auf . Es erfülle die Ganzheitsgleichung

auf . Zeige, dass auf ganz meromorph ist.



Es sei eine riemannsche Fläche und sei das Komplement einer diskreten Teilmenge . Es sei eine meromorphe Funktion auf und seien meromorphe Funktionen auf . Es erfülle die Ganzheitsgleichung

auf . Zeige, dass auf ganz meromorph ist.



Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion auf keinen sinnvollen Limes im unendlich fernen Punkt besitzt und die Exponentialfunktion insbesondere keine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden ist.



Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

keine rationale Funktion ist.



Formuliere und beweise eine Version von Satz 18.6 für den Fall, dass nicht zusammenhängend ist.



Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf mit der zugehörigen holomorphen Abbildung im Sinne von Satz 18.6. Zeige, dass die über die Laurent-Entwicklungen definierte Gesamtpolstellenordnung von mit der Gesamtnullstellenordnung von und mit der über das Verzweigungsverhalten definierten Gesamtordnung übereinstimmt.



Bestimme die Hauptteilverteilung zur meromorphen Funktion auf .



Bestimme die Hauptteilverteilung zur meromorphen Funktion auf .



Zeige, dass die Hauptteilverteilungen auf einer riemannschen Fläche eine Garbe von kommutativen Gruppen bilden.


Eine Garbe auf einem topologischen Raum heißt welk, wenn für offene Teilmengen die Einschränkungsabbildungen

surjektiv sind.



Es sei eine welke Garbe auf einem topologischen Raum . Zeige, dass für jeden Punkt und jede offene Umgebung die Abbildung

surjektiv ist.



Es sei die Garbe der Hauptteilverteilungen auf einer riemannschen Fläche . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist im Allgemeinen nicht welk.
  2. Für jeden Punkt und jede offene Umgebung ist die Abbildung

    surjektiv.



Zeige, dass auf die meromorphe Differentialform nicht die Form mit einer meromorphen Funktion besitzt.





Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Sequenz von Garben

vorliegt.



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