Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 18

Aufgaben

Aufgabe

Es sei  ${}f\neq 0$  eine meromorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einem Gebiet  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.  Zeige, dass ${}f$ in  ${}a\in U$  genau dann eine Nullstelle der Ordnung ${}k$ besitzt, wenn ${}f^{-1}$ in ${}a$ einen Pol der Ordnung ${}k$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass zu einer meromorphen Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer offenen Teilmenge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  auch die Ableitung ${}f'$ meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Es sei  ${}D\subset X$  eine diskrete Teilmenge und ${}f\colon X\setminus D\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist eine meromorphe Funktion.
2. Für jedes Kartengebiet  ${}U\subseteq X$  ist die holomorphe Funktion ${}f{|}_{(X\setminus D)\cap U}\circ \alpha ^{-1}{|}_{\alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)}\colon \alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorph.
3. Es gibt eine offene Überdeckung  ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  mit Kartengebieten ${}U_{i}$ derart, dass die holomorphen Funktionen ${}f{|}_{(X\setminus D)\cap U_{i}}\circ \alpha _{i}^{-1}{|}_{\alpha _{i}(U_{i})\setminus \alpha _{i}(D\cap U_{i})}\colon \alpha _{i}(U_{i})\setminus \alpha _{i}(D\cap U_{i})\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei  ${}U\subseteq X$  eine offene Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Einschränkung einer meromorphen Funktion ${}f$ von ${}X$ auf ${}U$ ist meromorph.
2. Die Zuordnung ${}U\mapsto {\mathcal {M}}{\left(U\right)}$ ist eine Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$.
3. Wenn ${}X$ und ${}U$ zusammenhängend sind, so liegt eine Körpererweiterung

   ${\mathcal {M}}{\left(X\right)}\longrightarrow {\mathcal {M}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto f{|}_{U},$

   vor.

Aufgabe

Bestimme zur Garbe ${}{\mathcal {M}}$ der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ den Halm ${}{\mathcal {M}}_{P}$ in einem beliebigen Punkt  ${}P\in X$. 

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 1.11.

Aufgabe *

Es sei  ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Kreisscheibe und  ${}V=U\setminus \{0\}$.  Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}V$ und seien ${}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ meromorphe Funktionen auf ${}U$. Es erfülle ${}f$ die Ganzheitsgleichung

${}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$

auf ${}V$. Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ meromorph ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei  ${}V=X\setminus D\subseteq X$  das Komplement einer diskreten Teilmenge ${}D$. Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}V$ und seien ${}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ meromorphe Funktionen auf ${}X$. Es erfülle ${}f$ die Ganzheitsgleichung

${}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$

auf ${}V$. Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}X$ meromorph ist.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion auf  ${}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$  keinen sinnvollen Limes im unendlich fernen Punkt  ${}\infty \in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$  besitzt und die Exponentialfunktion insbesondere keine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{x},$

keine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Formuliere und beweise eine Version von Satz 18.6 für den Fall, dass ${}X$ nicht zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}f$ eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf ${}X$ mit der zugehörigen holomorphen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ im Sinne von Satz 18.6. Zeige, dass die über die Laurent-Entwicklungen definierte Gesamtpolstellenordnung von ${}f$ mit der Gesamtnullstellenordnung von ${}f^{-1}$ und mit der über das Verzweigungsverhalten definierten Gesamtordnung ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(\infty )}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\infty \right)}$ übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme die Hauptteilverteilung zur meromorphen Funktion ${}{\frac {z^{3}}{(z-2)^{2}}}$ auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.

Aufgabe

Bestimme die Hauptteilverteilung zur meromorphen Funktion ${}{\frac {z-1}{(z-3)z^{2}}}$ auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$.

Aufgabe

Zeige, dass die Hauptteilverteilungen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ eine Garbe von kommutativen Gruppen bilden.

Eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt welk, wenn für offene Teilmengen  ${}U\subseteq V$  die Einschränkungsabbildungen

${\mathcal {G}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

surjektiv sind.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine welke Garbe auf einem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass für jeden Punkt  ${}P\in X$  und jede offene Umgebung  ${}P\in U$  die Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

surjektiv ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathcal {T}}$ die Garbe der Hauptteilverteilungen auf einer riemannschen Fläche ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}{\mathcal {T}}$ ist im Allgemeinen nicht welk.
2. Für jeden Punkt  ${}P\in X$  und jede offene Umgebung  ${}P\in U$  ist die Abbildung

   $\Gamma {\left(U,{\mathcal {T}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {T}}_{P}$

   surjektiv.

Aufgabe

Zeige, dass auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die meromorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ nicht die Form ${}df$ mit einer meromorphen Funktion ${}f$ besitzt.

Aufgabe

Beweise Korollar 18.7 mit dem Residuensatz.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Sequenz von Garben

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {M}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt.