Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 19/kontrolle
- Aufgaben
Es sei eine meromorphe Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche . Zeige, dass genau dann holomorph ist, wenn der Hauptdivisor effektiv ist.
Es sei eine meromorphe Funktion auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche . Es sei
der Hauptdivisor zu . Zeige, dass die Anzahl von gleich der Blätterzahl der nach Satz 18.6 zu gehörenden holomorphen Abbildung
ist.
Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper der meromorphen Funktionen. Zeige, dass die Zuordnung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Wann sind die Divisorengruppen und zu zwei riemannschen Flächen und isomorph?
Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass durch die Zuordnung
eine Garbe von kommutativen Gruppen auf gegeben ist.
Es sei die Garbe der Divisoren auf einer riemannschen Fläche . Zeige die folgenden Aussagen.
- ist im Allgemeinen nicht welk.
- Für jeden Punkt
und jede offene Umgebung
ist die Abbildung
surjektiv.
Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass eine kurze exakte Garbensequenz
vorliegt, wobei in der Mitte die Garbe der meromorphen Funktionen und rechts die Garbe der Divisoren steht.
Zeige, dass zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und der Rückzug von Divisoren ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es seien und nichtkonstante holomorphe Abbildungen zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Zeige, dass für den Rückzug von Divisoren die Beziehung
gilt.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- ist biholomorph zur projektiven Geraden.
- Die Divisorenklassengruppe vom Grad ist trivial.
- Je zwei Punkte sind zueinander linear äquivalent
- Es gibt zwei Punkte , die zueinander linear äquivalent sind.