Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 31/kontrolle
- Aufgaben
Aufgabe * Aufgabe 31.1 ändern
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige
Aufgabe Aufgabe 31.1 ändern
Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche und mit dem Verzweigungsdivisor . Zeige die folgenden Aussagen.
- Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat ein Divisor.
- Es ist genau in den Punkten des Trägers von verzweigt.
- Wenn lokal auf offenen Kreisscheiben bzw. durch eine holomorphe Funktion beschrieben wird, so ist für die Ordnung gleich der Nullstellenordnung von in .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es zwischen je zwei zusammenhängenden kompakten riemannschen Flächen und eine nichtkonstante stetige Abbildung gibt.
Aufgabe Aufgabe 31.3 ändern
Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich. Zeige, dass zwischen dem Grad von und dem Verzweigungsdivisor die Beziehung
gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei , , die durch die Potenzierung () gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich. Bestimme den Verzweigungsdivisor von und beweise die Formel von Riemann-Hurwitz
in diesem Fall direkt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein Polynom vom Grad und sei , , die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.
- Bestimme den Verzweigungsdivisor von .
- Beweise
die Formel von Riemann-Hurwitz
in diesem Fall direkt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei , , die durch die rationale Funktion gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.
- Bestimme den Verzweigungsdivisor von .
- Beweise
die Formel von Riemann-Hurwitz
in diesem Fall direkt.
Aufgabe * Aufgabe 31.7 ändern
Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen und .
- Zeige, dass der Rückzug von holomorphen Differentialformen injektiv ist.
- Man folgere aus (1), dass für die
Geschlechter
die Abschätzung
gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen. Folgt aus einer Isomorphie , dass biholomorph ist?
Aufgabe Aufgabe 31.9 ändern
Es sei eine hyperelliptische riemannsche Fläche mit einer endlichen holomorphen Abbildung vom Grad . Zeige, dass für das Geschlecht und den Verzweigungsdivisor von die Beziehung
gilt.
Zur folgenden Aufgabe vergleiche man den Beweis zu
Satz 26.2.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass es kompakte zusammenhängende riemannsche Flächen vom Geschlecht gibt mit einem Punkt und einem lokalen Parameter in derart, dass die Kohomologieklassen in zu den Hauptteilen nicht linear unabhängig sind.