Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 3 4 6 2 3 2 2 4 4 4 4 8 6 4 4 64




Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

Bemerkung: und sind Primzahlen.


Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ?

Wie viele Elemente besitzt , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Sei ein primitives Element von . Liste explizit alle Elemente auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.


Lösung

Es gibt Quadrate. , also gibt es primitive Elemente.

Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.

Sei primitiv. Ein Element der Form ist genau dann primitiv, wenn und teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen , die nicht teilerfremd zu sind. Sie müssen also oder als Teiler haben. Damit verbleiben .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger

gegeben ist.


Lösung

Man bringt die beiden Erzeuger auf den Hauptnenner, also

Von den beiden Zählern muss man den größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ausrechnen.

Zunächst ist

(Da ganzzahlig ist, kann man direkt eine gute Approximation sehen).

Im nächsten Schritt bilden wir den Quotienten

Multiplikation mit dem Nenner ergibt:

Der nächste Schritt liefert

Also ist der größte gemeinsame Teiler und damit ist

der Erzeuger des gebrochenen Ideals.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei

Berechne den Hauptdivisor zu


Lösung

Es ist

Wir berechnen zuerst die Primidealzerlegungen von , und .

Modulo :

. Das führt zum Primideal und zu .

Modulo :

. Das führt zum Primideal und zu .

Modulo :

. Es ist . Sei und . Damit ist .

Um die Zerlegung von zu erhalten berechnen wir die Norm.

Modulo ergibt sich

. Es ist . . Sei und . Damit ist .

Für muss man schauen, ob es zu oder zu gehört. In kann man bilden

Also ist und damit .

Damit ist und insgesamt

oder als Divisor geschrieben:


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von an.


Lösung

Es ist stets ein Teiler von , da ein Teiler von ist. Deshalb sind und Teiler von . Das sind beide Primzahlen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme ein Element aus , das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.


Lösung

Die Elemente in haben die Form

mit . Die Norm davon ist

Bei ergibt sich zumindest . Bei und ergibt sich die Norm . Bei und liegt eine Einheit vor, so dass die Nichteinheiten mit minimaler Norm sind. Ein solches Element ist irreduzibel, da aus folgt . Da es aber kein Element mit Norm gibt, muss oder die Norm haben, also eine Einheit sein.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert hat, aber kein Quadratrest vorliegt.


Lösung

Betrachte in

das Element . Die ist weder modulo noch modulo ein Quadratrest, also erst recht nicht modulo . Andererseits ist aber nach Definition


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.


Lösung

Die Restklasse in der Quadratrestgruppe werde durch repräsentiert. Da Quadrate in der Quadratrestgruppe gleich sind, hat man , d.h. man hat einen Vertreter aus . Sei dessen kanonische Primfaktorzerlegung. Durch sukzessive Multiplikation mit den Quadraten (in ) kann man die Exponenten zu oder zu machen und erhält einen quadratfreien Repräsentanten.


Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?


Lösung

ist selbst ein Quadratrest modulo , so dass wir im Folgenden annehmen, dass teilerfremd zu ist.

Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall . Dann ist

Die Nichtquadrate modulo sind . Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass und gleichzeitig ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung

Für den Fall ist

Die Quadrate modulo , die zugleich Einheiten sind ( ist ausgeschlossen), sind . Wir müssen also eine Bedingung finden, dass und zugleich ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung

Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten

Da diese Zahlen (bis auf ) teilerfremd zu sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Lösung

Wir führen im Polynomring die Division mit Rest von durch durch und erhalten

Dabei ist oder aber der Grad von ist (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element ein, so ist stets nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen und an diesen Stellen überein.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die kleinste Zahl derart, dass zugleich das reguläre -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass eine Summe von zwei Quadraten ist.


Lösung

muss einerseits die Form haben mit verschiedenen Fermat-Primzahlen, also , etc. und andererseits muss jeder Primteiler von mit ungeradem Exponent modulo den Rest oder haben. Da in der ersten Bedingung allenfalls einfach vorkommt, darf überhaupt nicht vorkommen.

Wenn keine Fermat-Primzahlen vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit gleich . Damit ist auch schon ausgeschlossen, dass oder eine größere Fermat-Primzahl vorkommt.

Wenn an Fermat-Primzahlen nur vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit gleich .

Wenn nur vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit.

Wenn und vorkommen, so ist die kleinste Möglichkeit.

Also ist die Lösung.


Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe alle sechsten Einheitswurzeln im quadratischen Zahlbereich und im Restklassenring (eine -te Einheitswurzel in einem Ring ist ein Element mit ).


Lösung

In gibt es das Element . Es ist und . Damit ist und die Ordnung von ist . Neben den schon angeführten Elementen sind noch , , weitere sechste Einheitswurzeln. Das sind alle, da über jedem Integritätsbereich ein Polynom vom Grad maximal Nullstellen haben kann.

Betrachte nun . Die Ordnung der Einheitengruppe ist . Für die Potenzen von hat man , , , . Also ist primitiv und hat die Ordnung . Dann sind genau die Elemente der Form , wobei ein Vielfaches von ist, sechste Einheitswurzeln. Dies sind


Aufgabe (8 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Seien Elemente, die eine -Basis von bilden und für die der Betrag der Diskriminante

unter all diesen Basen aus minimal sei.

Zeige, dass dann

ist.


Lösung

Sei ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich als eine -Linearkombination mit schreiben lässt, wenn die eine -Basis von mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

mit rationalen Zahlen . Sei angenommen, dass ein nicht ganzzahlig ist, wobei wir annehmen dürfen. Wir schreiben dann mit und einer rationalen Zahl (echt) zwischen und . Dann ist auch

eine -Basis von , die in liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

Wegen und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminanten.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei die Nenneraufnahme zu ( besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe mit

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Sei ein Unterring, also , und seien die verschiedenen Primfaktoren von . Es sei derart, dass genau für gilt: . Sei . Wir behaupten die Gleichheit

Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus gibt.

Die Inklusion ist klar. Ein Element links hat die Gestalt

Sei umgekehrt . Wegen kann man schreiben

Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Angenommen, sei ein Primteiler von , der nicht zu , , gehöre. Schreibe mit und teilerfremd. Wir multiplizieren mit und erhalten

Hierbei ist insbesondere zu teilerfremd. Sei . Dann ist

Daraus folgt und damit , Widerspruch.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Lösung

Sei das Inverse von , also . Da ganz über ist, gibt es eine Ganzheitsgleichung für , sagen wir

mit . Wir multiplizieren diese Gleichung mit und erhalten

bzw.

Ausklammern von ergibt

und damit

wobei der Ausdruck in der Klammer zu gehört. Also besitzt auch ein Inverses in .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.


Lösung

Siehe die entsprechende Argumentation im Beweis zu Satz 25.2.

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