Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 5

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In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Einheitengruppe der Restklassenringe , also mit . Ihre Anzahl wird durch die Eulersche Funktion ausgedrückt. Wir brauchen noch kurz einige Vorbereitungen über Polynomringe.



Satz  

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und .

Dann ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.

Beweis  

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.




Korollar  

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom () vom Grad .

Dann besitzt maximal Nullstellen.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Satz 5.1 und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .




Satz  

Sei eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers .

Dann ist zyklisch.

Beweis  

Sei und der Exponent dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente eine Nullstelle des Polynoms sind. Nach Korollar 5.2 ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, so dass folgt. Nach Fakt ***** ist dann zyklisch.


Wir können damit im Fall einer Primzahl die Struktur der Einheitengruppe des Restklassenringes verstehen.



Satz  

Sei eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe zyklisch mit der Ordnung .

Es gibt also Elemente mit der Eigenschaft, dass die Potenzen , , alle Einheiten durchlaufen.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 5.3, da ein endlicher Körper ist.



Definition  

Eine Einheit heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Bemerkung  

Der Satz 5.4 sagt insbesondere, dass es für eine Primzahl primitive Elemente im Restklassenkörper gibt. Er ist lediglich ein Existenzsatz und gibt keinen Hinweis, wie primitive Elemente zu konstruieren oder zu finden sind. Für eine Primzahl und eine Einheit bedeutet die Eigenschaft, primitiv zu sein, dass ein Gruppenisomorphismus

vorliegt. Für eine beliebige natürliche Zahl ist die Einheitengruppe der Restklassenringe im Allgemeinen nicht zyklisch. Wir werden später diejenigen Zahlen charakterisieren, die diese Eigenschaft besitzen.




Korollar  

Sei eine Primzahl. Dann gibt es in genau primitive Elemente.

Beweis  

Aufgrund der Existenz von primitiven Elementen gibt es eine Isomorphie

Daher geht es um die Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe . Ein Element aus ist ein Gruppenerzeuger genau dann, wenn es in (als Ring betrachtet) eine Einheit ist. Deshalb ist die Anzahl gerade .


Wir kehren nun zum allgemeinen Fall zurück, wo eine beliebige positive ganze Zahl ist.



Satz  

Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung . Dann induziert der Ringisomorphismus des Chinesischen Restsatzes einen Gruppenisomorphismus der Einheitengruppen

Insbesondere ist die Einheitengruppe von höchstens dann zyklisch, wenn die Einheitengruppen von für alle zyklisch sind.

Beweis  

Ein Ringisomorphismus induziert natürlich einen Isomorphismus der Einheitengruppen, und die Einheitengruppe eines Produktringes ist die Produktgruppe der beteiligten Einheitengruppen. Ist eine Produktgruppe zyklisch, so muss auch jede Komponentengruppe zyklisch sein, da diese auch Restklassengruppen der Produktgruppe sind (unter der Projektion auf die Komponente).


Aus obiger Einheitenversion des Chinesischen Restsatzes folgt für die Eulersche Funktion, wenn die Primfaktorzerlegung ist, die Identität

Man muss also nur noch für eine Primzahl berechnen, wobei natürlich ist. Für mit ist eine Zahl genau dann teilerfremd zu , wenn sie teilerfremd zu ist, und das ist genau dann der Fall, wenn sie kein Vielfaches von ist. Die Vielfachen von im beschriebenen Intervall sind genau die Zahlen mit . Dies sind Stück, so dass es also Einheiten gibt. Wir erhalten demnach

und insgesamt



Lemma  

Sei eine Primzahl und . Dann ist der durch die kanonische Projektion

induzierte Gruppenhomomorphismus

der Einheitengruppen surjektiv.

Beweis  

Sei eine Einheit. Dann ist teilerfremd zu und damit kein Vielfaches von . Wir fassen als Element in auf. Da nach wie vor kein Vielfaches von ist, ist es auch in eine Einheit, und zugleich ein Urbild von .




Lemma  

Sei eine Primzahl und . Dann ist der Kern des Einheiten-Homomorphismus

zyklisch der Ordnung .

Beweis  

Wir zeigen, dass das Element , das offensichtlich zum Kern von

gehört, in der Einheitengruppe die Ordnung besitzt. Da diese Kerngruppe die Ordnung hat, muss die (multiplikative) Ordnung von ein Teiler davon sein, also von der Gestalt mit sein. Wir zeigen, dass in ist, so dass also nur noch die Ordnung möglich bleibt.

Nehmen wir also an, das bedeutet

Ausmultiplizieren ergibt den Ausdruck

Der erste Summand ist dabei und wir betrachten die weiteren Summanden

mit . Wir schreiben

So geordnet steht vorne und dann folgen Ausdrücke der Form , . Der Exponent der Primzahl in diesen letztgenannten Brüchen ist oben und unten gleich. Daher hängt der -Exponent des Binomialkoeffizienten nur von ab. Sei der -Exponent von . Der -Exponent von ist dann und damit ist der -Exponent von gleich

Wir behaupten, dass dies ist, was für klar ist (wegen ). Sei also . Dann gilt aber, wegen , die Abschätzung

was genau die Aussage ergibt. Damit ist insgesamt in der obigen Summation der erste Summand, also , kein Vielfaches von , aber alle weiteren Summanden sind Vielfache von , was einen Widerspruch bedeutet.




Satz  

Sei eine Primzahl und . Dann ist die Einheitengruppe

des Restklassenrings zyklisch.

Beweis  

Nach Lemma 5.9 ist die Abbildung

surjektiv. Die Einheitengruppe ist zyklisch aufgrund von Satz 5.4. Sei ein erzeugendes (also primitives) Element dieser Gruppe (der Ordnung ) und sei ein Element, das auf abgebildet wird. Die Ordnung von ist dann ein positives Vielfaches von . Es gibt daher auch ein (nämlich eine gewissse Potenz von ), das genau die Ordnung besitzt.

Auf der anderen Seite gibt es nach Lemma 5.10 ein Element , das den Kern von erzeugt und die Ordnung besitzt. Die Ordnung von ist somit das kleinste gemeinsame Vielfache von und , also . Da dies die Gruppenordnung ist, muss die Gruppe zyklisch sein und ist ein Erzeuger.


Bemerkung  

Für ist die Einheitengruppe von im Allgemeinen nicht zyklisch. Für ist sie zyklisch (sogar trivial) und für ist ebenfalls zyklisch der Ordnung zwei, und zwar ist primitiv. Für hingegen ist nicht zyklisch. Es gilt nämlich

so dass alle Einheiten die Ordnung zwei haben und es keinen Erzeuger gibt. Die Einheitengruppe ist isomorph zu

Ähnliche Überlegungen wie in Lemma 5.10 zeigen, dass die Einheitengruppe von für isomorph zu ist, und zwar ist stets ein Element der Ordnung . Jede Einheit in hat somit eine Darstellung der Form .



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