Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 25/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise, dass es zu einem Zahlbereich ${}R$ einen Gruppenisomorphismus

$Q(R)^{\times }/R^{\times }\longrightarrow H$

gibt, wobei ${}H$ die Gruppe der Hauptdivisoren bezeichnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in ${}A_{D}$. Zeige, dass das konjugierte Ideal ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe das Inverse zu ${}{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es sei ${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}$ die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass ${}f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{i}$ Hauptideale sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ einen größten gemeinsamen Teiler für ${}22+25{\sqrt {-2}}$ und ${}43-23{\sqrt {-2}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die beiden Elemente

$x=4+7{\sqrt {-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,y=5+8{\sqrt {-2}}.$

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen ${}N(x)$ und ${}N(y)$ (in ${}\mathbb {Z}$) und das von ${}x$ und ${}y$ erzeugte Ideal in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong {\mathbb {Z} }[X]/(X^{2}+6)$. Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {-6}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-15$. Berechne zu

$q={\frac {3}{10}}-{\frac {5}{6}}{\sqrt {-15}}$

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R=A_{-11}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-11}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-11$. Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von

$35+{\sqrt {-11}}{\mbox{ und }}-89+21{\sqrt {-11}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R=A_{-7}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=-7$. Bestimme die Primfaktorzerlegung von

$4+9{\sqrt {-7}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ quadratfrei mit ${}D=3\mod 4$ und ${}D<-1$. Zeige, dass ${}(2,1+{\sqrt {D}})$ ein Primideal im quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$ ist, aber kein Hauptideal. Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D<0$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für ${}D\geq -12$ die Nichteinheiten ${}z\in A_{D}$ mit minimaler Norm.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Im quadratischen Zahlbereich ${}A_{6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {6}}]$ gilt

$2\cdot 3={\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {6}}.$

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Im quadratischen Zahlbereich ${}A_{-6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]$ gilt

$-2\cdot 3={\sqrt {-6}}\cdot {\sqrt {-6}}.$

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ quadratfrei und betrachte ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}$. Charakterisiere für die beiden Ringe, wann ${}{\sqrt {D}}$ prim ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen ${}R$ und ${}S$, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen ${}(R,+,0)$ und ${}(S,+,0)$ als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen ${}(R,\cdot ,1)$ und ${}(S,\cdot ,1)$ als Monoide isomorph sind.

Bei den beiden folgenden Aufgaben darf man sich auf quadratische Zahlbereiche beschränken, da wir nur für diese die Multiplikativität der Norm gezeigt haben.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Erweitere die (multiplikative) Normabbildung

${\text{Ideale}}\,(R)\longrightarrow (\mathbb {N} _{+},\cdot ),\,{\mathfrak {a}}\longmapsto N({\mathfrak {a}}),$

zu einem Gruppenhomomorphismus

${\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)\longrightarrow \mathbb {Q} ^{\times }.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine (additive) Gruppe ${}G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ und ${}\psi$ derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\operatorname {Div} {\left(R\right)}\\\!\!\!\!\!\!\operatorname {Norm} \downarrow &&\downarrow \psi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {Q} ^{\times }&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\!\!\!\!\!\!G\end{matrix}}$

kommutiert und dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ einen größten gemeinsamen Teiler für ${}-169+2{\sqrt {-2}}$ und ${}-70+113{\sqrt {-2}}$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl ${}n\in \mathbb {Z}$, ${}n\neq 0$, eine Primfaktorzerlegung in ${}R$ besitzt. Zeige, dass dann ${}R$ bereits faktoriell ist.

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 25.20 ändern

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Es Es sei ${}p$ eine Primzahl, die in ${}A_{D}$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in ${}A_{D}$.
2. ${}p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in ${}A_{D}$.
3. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Elementes aus ${}A_{D}$.
4. ${}p$ oder ${}-p$ ist die Norm eines Primelementes aus ${}A_{D}$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}D\leq -2$ quadratfrei und betrachte ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von ${}D$ durch

${}D={\sqrt {D}}{\sqrt {D}}\,$

gegeben ist. Zeige damit, dass ${}{\sqrt {D}}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls ${}-D$ keine Primzahl ist, dann auch ${}{\sqrt {D}}$ nicht prim in ${}R$ ist.