Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 28/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 28.1 ändern

Zeige, dass eine ganzzahlige -Matrix genau dann (als ganzzahlige Matrix) invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich oder ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Ergänze die Matrix

zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für die Diskriminante einer binären quadratischen Form

gilt, und dass diese beiden Möglichkeiten durch die sogenannten Hauptformen bzw. realisiert werden.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine einfache binäre quadratische Form. Zeige, dass die von der Menge der durch darstellbaren Zahlen erzeugte Untergruppe gleich ist.


Aufgabe Aufgabe 28.5 ändern

Es sei eine binäre quadratische Form und die mittels der Matrix transformierte Form . Zeige, dass für die Koeffizienten die Beziehung

besteht.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine binäre quadratische Form und die mittels der Matrix transformierte Form . Dann besteht für die Koeffizienten die Beziehung


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Eigenschaft einer binären quadratischen Form, einfach zu sein, nur von der Äquivalenzklasse der Form abhängt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man mit der binären quadratischen Form

weder die Zahl noch die Zahl darstellen kann.


Unter einer homogenen Linearform versteht man einen Ausdruck der Form .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine binäre quadratische Form mit über in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine binäre quadratische Form mit . Charakterisiere mit Hilfe der Diskriminante, ob diese Form über in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.


Bei oder ist die Diskriminante gleich , also ein Quadrat, und die Form zerfällt in . Ein ähnliches Verhalten tritt stets aus, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. Dieser Fall ist vergleichsweise einfach und hat keine Entsprechung in den quadratischen Zahlbereichen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine binäre quadratische Form mit . Zeige, dass die Diskriminante genau dann eine Quadratzahl ist, wenn diese Form über in (homogene) Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe Aufgabe 28.12 ändern

Zeige, dass eine binäre quadratische Form mit einer quadratfreien (bzw. bis auf den Faktor quadratfreien) Diskriminante einfach ist.


Aufgabe Aufgabe 28.13 ändern

Zeige, dass eine binäre quadratische Form eine quadratische Form auf dem -Modul im Sinne der Definition 28.8 ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine quadratische Form auf dem -Modul und ein -Untermodul. Zeige, dass die Einschränkung von auf ebenfalls eine quadratische Form ist.


Bei der nächsten Aufgabe denke man an , , bei an den Quotientenkörper eines quadratischen Zahlbereichs zusammen mit der Norm als quadratischer Form (mit Werten in ) und bei an ein gebrochenes Ideal von .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein -Modul und eine quadratische Form. Es sei ein Unterring und es sei ein -Untermodul mit der Eigenschaft, dass die Werte von unter zu gehören. Zeige, dass die Einschränkung von auf eine quadratische Form über ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine quadratische Form auf dem -Modul , es sei ein weiterer -Modul und es sei

ein -Modulhomomorphismus. Zeige, dass eine quadratische Form auf ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein quadratischer Zahlbereich und es seien und äquivalente Ideale aus . Zeige, dass dann die zugehörigen vereinfachten Normen als quadratische Formen äquivalent sind.


Aufgabe Aufgabe 18.18 ändern

Sei ein quadratischer Zahlbereich mit Diskriminante und sei eine binäre quadratische Form zu dieser Diskriminante mit . Zeige wie im Beweis zu Satz 28.13, dass

ein Ideal in ist und die Eigenschaft besitzt, dass die Norm darauf die vorgegebene quadratische Form realisiert.


Aufgabe * Aufgabe 28.19 ändern

Es sei

eine quadratische Körpererweiterung und es sei

eine -lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass die Multiplikation mit einem Element aus oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Ergänze die Matrix

zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante .


Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Berechne die Diskriminante der binären quadratischen Form


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die binäre quadratische Form

einfach ist oder nicht.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass man mit der binären quadratischen Form

die Zahl nicht darstellen kann.


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