Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 4/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Rest von modulo .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Sei . Ist stets ein Teiler von ?


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der für die beiden Zahlen und .

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

Welche Restklasse modulo entspricht dem Restklassenpaar und welche dem Paar ?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo , die modulo den Rest hat und die modulo den Rest hat.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe * Referenznummer erstellen

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe Referenznummer erstellen

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und kommutative Ringe mit dem Produktring

Zeige, dass ein Ringhomomorphismus

dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen

für .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe eine surjektive Abbildung

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe Aufgabe 4.13 ändern

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Tipp: Benutze Aufgabe 3.21.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien positive natürliche Zahlen und es sei

die Produktgruppe. Bestimme den Exponenten von .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Für eine Gruppe bezeichne die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in . Zeige folgende Aussagen.

  1. Ist abelsch, so ist eine Untergruppe von .
  2. Ist eine Untergruppe, so ist ein Normalteiler in .
  3. Es gibt eine Gruppe , für die keine Untergruppe von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei . Finde ein Polynom vom Grad , das für alle Elemente aus mit übereinstimmt.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen



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