Riemannsche Flächen/Garben/Exaktheit/Textabschnitt

Es seien ${}F,G,H$ kommutative Gruppen und seien

F{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}G{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}H

Gruppenhomomorphismen. Man sagt, dass ein Komplex vorliegt, wenn

{}\operatorname {bild} \alpha \subseteq \operatorname {kern} \beta \,

gilt, was zu ${}\beta \circ \alpha =0$ äquivalent ist. Man sagt, dass der Komplex exakt ist, wenn

{}\operatorname {bild} \alpha =\operatorname {kern} \beta \,

gilt. Dieses Konzept überträgt man auf Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ , indem man die Bedingungen halmweise interpretiert (siehe Fakt). Man sagt also, dass die Garbenhomomorphismen

{\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}

einen Komplex bilden, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ die Halmabbildungen

{\mathcal {F}}_{P}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}_{P}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}_{P}

einen Komplex von Gruppen bilden, und man nennt den Garbenkomplex exakt, wenn der Halmkomplex für jeden Punkt exakt ist.

Definition

Ein exakter Komplex

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt kurze exakte Sequenz.

Hierbei ist insbesondere die vordere Abbildung injektiv und die hintere Abbildung (Garben)-surjektiv. Es ist ${}{\mathcal {F}}$ der Kern des Garbenhomomorphismus ${}{\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ und ${}{\mathcal {H}}$ ist die Quotientengarbe zur Untergarbe ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ .

Lemma

Es sei

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage ${}F$ die induzierte Topologie von ${}G$ und die Surjektion ${}p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element ${}h\in H$ eine offene Umgebung ${}h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu ${}p$ gibt.

Dann ist für jeden topologischen Raum ${}X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

ebenfalls exakt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

\Box

Beispiel

Wir betrachten die kurze exakte Exponentialsequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {\operatorname {exp} }{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

von topologischen Gruppen. Die Exaktheit in der Mitte beruht auf Fakt (2), die Homomorphieeigenschaft beruht auf der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die komplexe Exponentialfunktion bildet nach Fakt surjektiv auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ab (sie ist eine Überlagerung, siehe Beispiel). Da es lokal einen Logarithmus gibt, sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt. Somit gibt es zu jedem topologischen Raum ${}X$ eine kurze exakte Garbensequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {Z} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,

die die (stetige komplexe) Exponentialsequenz heißt. Links steht die lokal konstante Garbe mit Werten in ${}\mathbb {Z}$ , in der Mitte die Garbe der komplexwertigen stetigen Funktionen und rechts die Garbe der nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen. Wenn man ${}X={\mathbb {C} }^{\times }$ setzt, so ist die globale Auswertung der hinteren Abbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.

Für die holomorphe Version der vorstehenden Aussage siehe Beispiel.

Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert, wir betrachten die kurze exakte Sequenz

1\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,1,

wobei rechts die ${}n$ -te komplexe Potenzierung steht und ${}E_{n}$ die Gruppe der ${}n$ -ten Einheitswurzeln bezeichnet, die zur zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph ist. Es liegt die Situation aus Fakt vor, d.h. auf jedem topologischen Raum ${}X$ erhält man eine kurze exakte Garbensequenz

1\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,E_{n})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,1.

Da ferner das Potenzieren holomorph ist, erhält man auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Garbensequenz

1\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,E_{n})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,1,

wobei vorne die lokal konstanten stetigen oder holomorphen Funktionen mit Werten in ${}E_{n}\cong \mathbb {Z} /(n)$ steht.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei

{\mathcal {F}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {d'}{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}

ein Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ .

Dann ist auch

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$

ein Komplex.

Beweis

Die Voraussetzung bedeutet einfach, dass ${}d'\circ d$ die Nullabbildung ist. Dann ist insbesondere die globale Auswertung die Nullabbildung.

\Box

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Es sei

0\longrightarrow {\mathcal {F}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {d'}{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}

ein exakter Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ .

Dann ist auch der Komplex

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$

exakt.

Beweis

Dass ein Komplex vorliegt ist klar nach Fakt. Die Exaktheit bedeutet, dass für jeden Punkt ${}P\in X$ der Komplex

0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {H}}_{P}

der Halme exakt ist. Sei ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$ und ${}d(s)=0$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$ . Dann ist ${}d(s)_{P}=0$ in jedem Punkt und somit ist ${}s_{P}=0$ für jeden Punkt. Also ist ${}s=0$ nach Fakt und die linke Abbildung ist injektiv. Es sei nun ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$ mit ${}d'(t)=0$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ . Die Exaktheit in den Halmen bedeutet, dass für jeden Punkt ${}P$ der Keim ${}t_{P}$ zu ${}{\mathcal {F}}_{P}$ gehört. Daraus folgt mit Aufgabe, dass ${}t$ selbst zu ${}{\mathcal {F}}$ gehört.