Riemannsche Flächen/Meromorphe Funktionen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Funktion auf ist gegeben durch eine diskrete Menge und eine holomorphe Funktion

derart, dass für jedes der Limes in existiert oder gleich ist.

Dabei werden meromorphe Funktionen als gleich angesehen, wenn sie als holomorphe Funktionen auf dem offenen Komplement der jeweiligen diskreten Teilmenge übereinstimmen. Man kann dabei jede meromorphe Funktion durch eine holomorphe Funktion auf einer größtmöglichen offenen Menge repräsentieren, nämlich auf dem Komplement der Polstellen.



Satz  

Es sei eine riemannsche Fläche. es sei eine diskrete Teilmenge und eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. ist eine meromorphe Funktion.
  2. Für jedes Kartengebiet ist die holomorphe Funktion meromorph.
  3. Es gibt eine offene Überdeckung mit Kartengebieten derart, dass die holomorphen Funktionen meromorph sind.

Beweis  


Meromorphe Funktionen und auf einer riemannschen Fläche kann man in natürlicher Weise addieren und multiplizieren. Dazu fasst man die jeweiligen diskreten Ausnahmemengen und zu einer diskreten Menge zusammen und addiert bzw. multipliziert die holomorphen Funktionen auf . Die Summe bzw. das Produkt besitzt in den Punkten aus entweder einen Limes oder aber einen Pol.



Satz  

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist die Menge der meromorphen Funktionen auf mit den natürlichen Verknüpfungen ein Körper.

Beweis  

Es ist klar, dass ein kommutativer Ring vorliegt. Es sei eine meromorphe Funktion auf , die auf holomorph sei. Nach Fakt ist die Nullstellenmege von innerhalb von diskret. Somit ist auf nach Fakt holomorph und aus den Nullstellen von werden Polstellen und umgekehrt.


Wir bezeichnen diesen Körper mit .



Lemma  

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und sei eine offene Teilmenge.

  1. Die Einschränkung einer meromorphen Funktion von auf ist meromorph.
  2. Wenn zusammenhängend ist, so liegt eine Körpererweiterung

    vor.

Beweis  


Schon das Beispiel

mit zeigt, dass die Restriktionsabbildung für die meromorphen Funktionen im Allgemeinen nicht surjektiv ist, da es zu jedem Radius holomorphe Funktionen mit diesem Konvergenzradius gibt, die nicht über den Rand hinaus fortsetzbar sind.


Beispiel  

Wir betrachten

Jedes nichtkonstante Polynom (aufgefasst als holomorphe Funktion auf ) besitzt die Eigenschaft, dass der Limes bestimmt gegen unendlich divergiert (siehe den Beweis zu Fakt). Somit ist jedes Polynom eine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden. Es folgt, dass überhaupt jede rationale Funktion eine meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden definiert. D.h. der Körper der rationalen Funktionen ist im Körper der meromorphen Funktionen auf der projektiven Geraden enthalten. Es ist andererseits einfach, meromorphe und auch holomorphe Funktionen auf anzugeben, die auf der projektiven Geraden nicht meromorph sind. Beispielsweise definieren die komplexe Exponentialfunktion oder die komplexe Sinusfunktion keine meromorphe Funktion auf , da diese Funktionen für kein einheitliches Limesverhalten haben (also weder gegen eine feste Zahl noch gegen unendlich gehen).


Wir werden später sehen, dass auf der projektiven Geraden jede meromorphe Funktion rational ist. Generell besitzt auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche der Körper der rationalen Funktionen eine algebraische Beschreibung, was für nichtkompakte riemannsche Flächen keineswegs gilt.