Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt lokale Isometrie, wenn für jeden Punkt ${}P\in L$ die Tangentialabbildung

$T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M$

eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.

Schon die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

zeigt, dass eine lokale Isometrie nicht injektiv sein muss.

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt Isometrie, wenn sie ein Diffeomorphismus ist und wenn sie lokal eine Isometrie ist.

Isometrische riemannsche Mannigfaltigkeiten werden im Sinne der riemannschen Geometrie als gleich betrachtet, insbesondere bleiben Längen, Winkel, Volumina unter Isometrien erhalten, siehe Fakt. Es ist aber keineswegs einfach zu erkennen, welche Eigenschaften einer im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eingebetteten riemannschen Mannigfaltigkeit nur von der riemannschen Struktur und nicht von der Einbettung abhängen. Eigenschaften, die nur von der riemannschen Struktur abhängen, nennt man auch intrinsisch (und solche, die von der Einbettung abhängen, extrinsisch). Für eine intrinsische Eigenschaft ist die Vorstellung passend, ob die Eigenschaft von einem Lebewesen, das sich nur auf der Mannigfaltigkeit bewegen darf und diese nicht verlassen kann, erkannt und beschrieben werden kann.

Beispiel

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene riemannsche Untermannigfaltigkeit. Dann induzierte jede lineare Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Isometrie von ${}M$ nach ${}\varphi (M)$.

Beispiel

Es sei ${}\gamma \colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve

${}C\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,,$

die in der offenen Teilmenge ${}V$ abgeschlossen sei. Dann ist die Abbildung

$\varphi =\gamma \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} }\colon ]a,b[\times \mathbb {R} \longrightarrow C\times \mathbb {R}$

eine Isometrie, wobei ${}]a,b[\times \mathbb {R}$ die natürliche euklidische Struktur und ${}C\times \mathbb {R}$ die riemannsche Untermannigfaltigkeitsstruktur ${}C\times \mathbb {R} \subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{3}$ trägt. Die Abbildung bedeutet im Wesentlichen, dass ein Blatt Papier längs einer Basiskurve ausgebreitet wird. Die vertikalen Fasern ändern sich dabei nicht und die horizontalen Faser sind eine Kopie der Basiskurve. Das einfachste nichttriviale Beispiel ist die Verbiegung des Blattes zu einem geschlitzten Zylindermantel. Es ist anschaulich klar, dass sich dabei die Kurvenlängen auf den Flächen und Flächeninhalte nicht ändern. Dass eine Isometrie vorliegt, kann man wie folgt zeigen. Sei dazu ${}P=(s,t)\in ]a,b[\times \mathbb {R}$. Dann ist

${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(e_{1}\right)}={\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(s)\\\gamma _{2}'(s)\\0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(e_{2}\right)}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,,$

die beiden Bildvektoren der Standardvektoren haben also die Länge ${}1$ und stehen senkrecht aufeinander. Somit ist

$T_{P}(]a,b[\times \mathbb {R} )\longrightarrow T_{\varphi (P)}(C\times \mathbb {R} )$

eine Isometrie.

Lemma

Es seien ${}L,M$ orientierte riemannsche Mannigfaltigkeiten und sei ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ eine orientierungstreue Isometrie. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die kanonische Volumenform von ${}M$ wird auf die kanonische Volumenform von ${}L$ zurückgezogen.
2. Für jede differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow L$

   ist die Kurvenlänge von ${}\gamma$ gleich der Kurvenlänge von ${}\varphi \circ \gamma$.

3. ${}\varphi$ ist maßtreu.
4. ${}\varphi$ ist winkeltreu.

Beweis

1. Es sei ${}\omega$ die kanonische Volumenform auf ${}M$ und ${}P\in L$. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in T_{P}L$ eine Orthonormalbasis von ${}T_{P}L$, die die Orientierung von ${}L$ repräsentiert. Dann ist

   ${}{\left(\varphi ^{*}\omega \right)}(P,u_{1},\ldots ,u_{n})=\omega (\varphi (P),T_{P}(u_{1}),\ldots ,T_{P}(u_{n}))\,.$

   Wegen der Isometrie ist ${}T_{P}(u_{1}),\ldots ,T_{P}(u_{n})$ eine Orthonormalbasis von ${}T_{\varphi (P)}M$ und wegen der Orientierungserhaltung der Abbildung repräsentiert sie die Orientierung auf ${}M$, daher ist der Wert gleich ${}1$. Diese Eigenschaft charakterisiert die kanonische Volumenform auf ${}L$.

2. Die Kurvenlänge von ${}\gamma$ ist das Integral zu ${}\Vert {\gamma '(t)}\Vert$, wobei die Norm in ${}T_{\gamma (t)}L$ zu nehmen ist. Entsprechend ist die Kurvenlänge von ${}\varphi \circ \gamma$ das Integral über ${}\Vert {{\left(\varphi \circ \gamma \right)}'(t)}\Vert$, was wegen der Isometrie das gleiche ist.
3. Zu einer Teilmenge ${}S\subseteq L$ ist das Maß zur kanonischen Volumenform von ${}L$ über ${}S$ nach Teil (1) und Fakt gleich

   ${}\int _{S}\omega _{L}=\int _{S}\varphi ^{*}(\omega _{M})=\int _{\varphi (S)}\omega _{M}\,.$

4. Dies folgt direkt aus der Isometrie.

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Lemma

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

eine Karte auf ${}M$.

Dann ist ${}\alpha$ eine Isometrie zwischen ${}U$ und ${}V$, wenn ${}V$ mit den durch die metrischen Fundamentalfunktionen ${}g_{ij}$ festgelegten Skalarprodukt versehen wird.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition der ${}g_{ij}$ durch

${}g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,.$

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