Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$.

Dann ist

${}\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$

Beweis

Es sei ${}U_{i}$, ${}i\in I$, eine offene Überdeckung von ${}M$ mit orientierten Karten und es sei ${}h_{j}$, ${}j\in J$, eine dieser Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins, die nach Fakt existiert. Zu jedem ${}P\in M$ gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V_{P}\subseteq M$ derart, dass ${}h_{j}{|}_{V_{P}}=0$ bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Es sei ${}Y$ der Träger von ${}\omega$. Die Überdeckung ${}Y\subseteq \bigcup _{P\in M}V_{P}$ besitzt wegen der vorausgesetzten Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir

${}Y\subseteq V_{1}\cup \ldots \cup V_{r}=V\,.$

Daher sind überhaupt nur endlich viele der ${}h_{j}$ auf ${}V$ von ${}0$ verschieden. Wir setzen ${}\omega _{j}=h_{j}\omega$; diese Differentialformen sind ebenfalls stetig differenzierbar. Der Träger von ${}h_{j}$ ist eine in ${}M$ abgeschlossene Teilmenge, die in ${}U_{i(j)}$ liegt, daher liegt der Träger von ${}\omega _{j}$ in ${}Y\cap U_{i(j)}$ und ist selbst kompakt nach Aufgabe. Es gilt

${}\omega =\sum _{j\in J}\omega _{j}\,,$

wobei nur endlich viele dieser Differentialformen ${}\omega _{j}$ von ${}0$ verschieden sind, da ${}\omega _{j}{|}_{M\setminus Y}=0$ für alle ${}j$ ist und

${}\omega _{j}{|}_{V}=0\,$

für alle ${}j$ bis auf endlich viele Ausnahmen. Wegen der Additivität des Integrals von Differentialformen und der Additivität der äußeren Ableitung kann man die Aussage für die einzelnen ${}\omega _{j}$ getrennt beweisen. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform gegeben ist, die kompakten Träger besitzt, der ganz in einer Kartenumgebung ${}U$ liegt.
Es liegt ein Diffeomorphismus ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ mit ${}V\subseteq H$ offen vor, der zugleich einen Diffeomorphismus zwischen den Rändern ${}\partial U=\partial M\cap U$ und ${}\partial V=\partial H\cap V$ induziert. Dabei gilt

${}\int _{\partial U}\omega =\int _{\partial V}\alpha ^{-1*}\omega \,$

und

${}\int _{U}d\omega =\int _{V}\alpha ^{-1*}(d\omega )=\int _{V}d{\left(\alpha ^{-1*}\omega \right)}\,$

nach Fakt  (5). Wir können also von einer auf ${}V\subseteq H$ definierten stetig differenzierbaren Differentialform mit kompaktem Träger ausgehen, die wir auf ganz ${}H$ außerhalb des Trägers als Nullform fortsetzen können.
Wegen der Kompaktheit des Trägers gibt es einen hinreichend großen Quader ${}Q\subseteq H$, dessen eine Seite ${}S$ auf ${}\partial H$ liegt und der den Träger von ${}\omega$ nur in ${}S$ trifft. Auf allen anderen Seiten von ${}Q$ ist ${}\omega$ (und damit auch ${}d\omega$) die Nullform. Daher gilt einerseits

${}\int _{H}d\omega =\int _{Q}d\omega \,$

und andererseits

${}\int _{\partial H}\omega =\int _{S}\omega =\int _{\partial Q}\omega \,.$

Somit folgt die Aussage aus der Quaderversion des Satzes von Stokes.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$.

Dann ist

${}\int _{M}d\omega =0\,.$

Beweis

Dies folgt wegen ${}\partial M=\emptyset$ unmittelbar aus Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf ${}M$, die auf dem Rand ${}\partial M$ konstant gleich ${}0$ ist.

Dann ist

${}\int _{M}d\omega =0\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$

Wichtig bei der vorstehenden Aussage ist, dass ${}\omega$ auf dem Rand ${}0$ ist; es genügt nicht, dass die äußere Ableitung ${}d\omega$ auf dem Rand ${}0$ ist, wie schon die eindimensionale Situation zeigt.