Schema/Picardgruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ nennt man die Menge der Isomorphieklassen von invertierbaren Garben auf ${}X$ mit der Tensorierung als Verknüpfung, der dualen Garbe als inverses Element und der Strukturgarbe als neutralem Element die Picardgruppe von ${}X$. Sie wird mit ${}\operatorname {Pic} {\left(X\right)}$ bezeichnet.

Die folgende Überlegung zu den Verklebungsdaten einer invertierbaren Garbe knüpft einerseits an Aufgabe an und weist andererseits auf die Čech-Kohomologie voraus.

Bemerkung  

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Trivialisierungen

$\varphi _{i}\colon {\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$

gibt. Für offene Mengen ${}U_{i},U_{j}$ ergeben sich auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

$\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}.$

Diese Isomorphien sind (vergleiche Aufgabe) durch (Multiplikation mit) Einheiten ${}r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung ${}r_{kj}\cdot r_{ji}=r_{ki}$, was man auch als ${}r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1$ schreiben kann. Ein solcher Datensatz legt durch eine Verklebung wiederum eine invertierbare Garbe fest. Wenn die invertierbare Garbe trivial ist, so gibt es einen globalen ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulisomorphismus ${}\psi \colon {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$. Dann liegen auf den ${}U_{i}$ die Isomorphismen

${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\psi {|}_{U_{i}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\varphi _{i}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$

vor, die insgesamt durch Einheiten ${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung

${}s_{i}\cdot s_{j}^{-1}={\left(\varphi _{i}\circ \psi \right)}\circ {\left(\varphi _{j}\circ \psi \right)}^{-1}=r_{ij}\,$

für alle ${}i,j$. Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten ${}s_{i}$ gegeben sind, so werden durch

${}\psi {|}_{U_{i}}:=\varphi _{i}^{-1}\circ s_{i}\,$

Modulisomorphismen auf ${}U_{i}$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen ${}{\mathcal {O}}_{X}$ und ${}{\mathcal {L}}$ festlegen. Eine invertierbare Garbe kann man also mit dem Datensatz ${}(U_{i},r_{ij})$ (mit den obigen Bedingungen, man spricht von einem Kozykel) identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten ${}s_{i}$ mit

${}r_{ij}=s_{i}\cdot s_{j}^{-1}\,$

gibt.

Bemerkung  

Die Identifizierung aus Bemerkung zwischen invertierbaren Garben und Kozykeln in der Einheitengarbe ist insofern nicht kanonisch, da man hier ein Vorzeichenproblem hat. Dies hängt damit zusammen, ob man die lokalen Trivialisierungen der invertierbaren Garben mit der Strukturgarbe als ${}\varphi _{i}\colon {\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ ansetzt oder in umgekehrter Richtung und wie man die Indexmenge ordnet.

Bemerkung  

Die Tensorierung von invertierbaren Garben ${}{\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {L}}'$ lässt sich auf der Ebene der zugehörigen Datensätze aus Bemerkung durchführen. Dazu geht man zu einer gemeinsamen Verfeinerungsüberdeckung über und kann annehmen, dass beide Garben Trivialisierungen bezüglich einer Überdeckung ${}U_{i}$, ${}i\in I$, besitzen. Dann beschreibt der Datensatz ${}r_{ij}\cdot r_{ij}'$ das Tensorprodukt.

Wir beschränken uns im Weiteren auf Schemata.

Lemma

Für einen lokalen Ring ${}R$

ist die Picardgruppe von ${}\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ trivial.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein integres Schema.

Dann ist jede invertierbare Garbe auf ${}X$ isomorph zu einem ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul der konstanten Funktionenkörpergarbe.

Beweis

Es sei ${}K$ der Funktionenkörper von ${}X$ und ${}{\mathcal {K}}$ die zugehörige Garbe. Für eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ ist der Halm im generischen Punkt ${}\eta$ ein eindimensionaler ${}K$-Vektorraum. Wir fixieren einen ${}K$-Isomorphismus ${}{\mathcal {L}}_{\eta }={\mathcal {K}}_{\eta }=K$. Für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ gibt es eine natürliche Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{\eta }\longrightarrow K.$

Diese sind injektiv (vergleiche den Beweis zu Fakt) und definieren einen Untermodul von ${}{\mathcal {K}}$.

$\Box$

Bemerkung  

Ein invertierbarer Untermodul ${}{\mathcal {L}}$ der konstanten Funktionenkörpergarbe ist gegeben durch eine offene Überdeckung ${}U_{i}$, ${}i\in I$, von ${}X$ zusammen mit von ${}0$ verschiedenen Elementen ${}q_{i}\in Q$, die die Bedingung ${}{\frac {q_{i}}{q_{j}}}\in {\left(\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)}^{\times }$ erfüllen. Wenn man eine trivialisierende Überdeckung ${}U_{i}$ heranzieht, so ist

${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\cong q_{i}{\mathcal {O}}_{U_{i}}\,,$

und aus den Übergangsabbildungen auf den Durchschnitten folgt, dass der Quotient ${}q_{i}/q_{j}$ eine Einheit sein muss. Wenn umgekehrt ein solcher Datensatz ${}(U_{i},q_{i})$ gegeben ist, so ist

${}q_{i}{\mathcal {O}}_{U_{i}}\subseteq {\mathcal {Q}}_{U_{i}}\,$

eine triviale Untergarbe, die auf ${}X$ eine invertierbare Untergarbe festlegt. Ein weiterer Gesichtspunkt ergibt sich aus der exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Q}}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Q}}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Aufgrund von Fakt sind die beschriebenen Datensätze die globalen Schnitte aus der Quotientengarbe ${}{\mathcal {Q}}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich.

Dann ist jede invertierbare Garbe auf ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ isomorph zu eine Idealgarbe.

Beweis

Nach Fakt können wir direkt davon ausgehen, dass ein invertierbarer Untermodul ${}L\subseteq K$ des Quotientenkörpers ${}K=Q(R)$ vorliegt. Die Invertierbarkeit bedeutet nach Fakt, dass es eine Familie

${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in R\,$

derart gibt, dass ${}L_{f_{i}}\cong R_{f_{i}}\cdot q_{i}$ mit ${}q_{i}\in K\setminus \{0\}$ gibt. Es sei ${}b$ ein Hauptnenner der ${}q_{i}$. Dann wird unter der Multiplikationsabbildung

$K\longrightarrow K,\,q\longmapsto qb,$

die ein ${}R$-Modulisomorphismus von ${}K$ ist, der Untermodul ${}L$ auf einen dazu isomorphen Untermodul ${}L'$ abgebildet. Dieser ist in der gegebenen Überdeckung ein Untermodul der Strukturgarbe, also ein Ideal.

$\Box$

Es gibt im Allgemeinen viele Möglichkeiten, eine invertierbare Garbe als eine Untergarbe der Funktionenkörper zu realisieren, allein schon deshalb, weil man aus einer Realisierung durch Multiplikation mit einem ${}f\in K$ eine neue Realisierung erhält.

Beispiel

Auf dem projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{d}$ über einem Körper ${}K$ lässt sich eine getwistete Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )$ folgendermaßen in die Funktionenkörpergarbe ${}{\mathcal {Q}}$ einbetten. Es sei

${}G\in K(X_{0},\ldots ,X_{n})_{-\ell }\,$

ein homogenes Element vom Grad ${}-\ell$. Auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{d}$ ist dann die natürliche Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(\ell )\right)}\longrightarrow Q({\mathbb {P} }_{K}^{d}),\,s\longmapsto sG,$

eine Realisierung als Untermodul.

Lemma

Es sei ${}X$ ein integres Schema und seien ${}{\mathcal {L}},{\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {Q}}$ invertierbare Untergarben der konstanten Garbe ${}{\mathcal {Q}}$ zum Funktionenkörper ${}Q(X)$.

Dann ist

${}{\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}\cong {\mathcal {L}}\cdot {\mathcal {M}}\,,$

wobei ${}{\mathcal {L}}\cdot {\mathcal {M}}$ diejenige Untergarbe von ${}{\mathcal {Q}}$ bezeichnet, die halmweise in jedem Punkt ${}P\in X$ aus allen Produkten ${}fg$ mit ${}f\in {\mathcal {L}}_{P}$ und ${}g\in {\mathcal {M}}_{P}$ erzeugt wird.

Beweis

Für den Quotientenkörper ${}Q$ eines Integritätsbereiches ${}R$ gilt ${}Q\otimes _{R}Q=Q$ über die natürliche Multiplikation. Daher gilt in einem integren Schema die Isomorphie

${}{\mathcal {Q}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {Q}}\cong {\mathcal {Q}}\,.$

Daher gibt es einen natürlichen Homomorphismus

${\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {Q}}$

durch Multiplikation. Das es sich um invertierbare Garben handelt, liegt lokal und damit auch global ein Isomorphismus auf die Bildgarbe vor.

$\Box$