Topologischer Raum/Garben/Kohomologie/Cech/Übersicht/Textabschnitt

Eine strukturell befriedigendere Kohomologietheorie erfordert stärkere Hilfsmittel aus der homologischen Algebra. Über injektive Auflösungen kann man zu einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ von kommutativen Gruppen kohomologische Funktoren ${}H^{i}(X,{\mathcal {F}})$, ${}i\in \mathbb {N}$, definieren. Dies werden wir nicht im Einzelnen ausführen. Wichtig ist für uns, dass diese „wahre Kohomologie“ häufig über Čech-Kohomologie berechnet werden kann. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften dieser Kohomologietheorie zusammen.

Satz

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Dann erfüllt die Garbenkohomologie folgende Eigenschaften.

1. Die ${}H^{n}(X,-)$ sind (für jedes ${}n\in \mathbb {N}$) additive Funktoren von der Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.
2. Es liegt ein natürlicher Isomorphismus ${}H^{0}(X,{\mathcal {G}})\cong \Gamma (X,{\mathcal {G}})$ vor.
3. Zu einer kurzen exakten Garbensequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   gibt es eine lange exakte Kohomologiesequenz

   $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {H}})\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow \ldots .$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Satz

Eine welke Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$

ist azyklisch, d.h. es ist ${}H^{n}(X,{\mathcal {G}})=0$ für ${}n\geq 1$.

Beweis

Nach Fakt gibt es eine Einbettung von ${}{\mathcal {G}}$ in eine injektive Garbe ${}{\mathcal {I}}$, wir betrachten die zugehörige kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Nach Fakt ist ${}{\mathcal {I}}$ eine welke Garbe. Dann ist nach Fakt  (2) auch die Quotientengarbe ${}{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}$ welk. Die lange exakte Kohomologiesequenz ergibt unter Verwendung von Fakt einerseits

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$

und andererseits

$0\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}){\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$

für ${}n\geq 1$. Aus dem ersten Ausschnitt folgt wegen der Surjektivität (siehe Fakt  (1)) von

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)},$

dass ${}H^{1}(X,{\mathcal {G}})=0$ ist. Dies gilt für alle welke Garben. Daher gilt aufgrund des zweiten Ausschnittes, angewendet für ${}n=2$, auch ${}H^{2}(X,{\mathcal {G}})=0$, u.s.w.

$\Box$

Satz

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul.

Dann sind die Garbenkohomologien ${}H^{i}(X,{\mathcal {M}})$ in natürlicher Weise ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$-Moduln.

Satz

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ und es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit ${}H^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})=0$ und ${}H^{1}(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}})=0$ für alle ${}i,j$.

Dann ist

${}{\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})=H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.$

Beweis

Es sei ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz (siehe Fakt  (3)) und wegen Fakt ist

${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}\,.$

Wir definieren zuerst einen Homomorphismus

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}}).$

Ein Schnitt ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ legt Restriktionen ${}t_{i}=t{|}_{U_{i}}$ fest. Da ${}{\mathcal {F}}$ auf den ${}U_{i}$ keine Kohomologie besitzt, gibt es

${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}\,,$

die auf die ${}t_{i}$ abbilden. Die Elemente (zu ${}i<j$)

${}r_{ij}:=s_{i}-s_{j}\,$

werden auf ${}0$ in ${}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {H}}\right)}$ abgebildet, daher ist

${}r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,.$

Für Indizes ${}i<j<k$ ist

${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=s_{i}-s_{j}-(s_{i}-s_{k})+s_{j}-s_{k}=0\,,$

deshalb ist die Kozykelbedingung erfüllt. Somit ist die Familie ${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}$ ein Čech-Kozykel und definiert ein Element in ${}{\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})$. Diese Zuordnung ist unabhängig von den gewählten ${}s_{i}$ und ein Gruppenhomomorphismus, siehe Aufgabe. Es sei nun ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$ das Bild eines globalen Elementes ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$. Dann kann man die ${}s_{i}$ als ${}s{|}_{U_{i}}$ ansetzen und daher sind die zu ${}t$ konstruierten ${}r_{ij}$ alle gleich ${}0$. Ein solches Element ${}t$ wird also unter der angegebenen Abbildung auf ${}0$ abgebildet. Dies ergibt nach Fakt eine Faktorisierung

$H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\right)}\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}}).$

Es sei nun umgekehrt ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$ gegeben, der durch

${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$

mit ${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ repräsentiert sei. Wir fassen die ${}r_{ij}$ in ${}{\mathcal {I}}$ auf, und zwar als globale Elemente, was aufgrund der Welkheit von injektiven Garben möglich ist. Wir definieren

${}s_{i}:=r_{i1}\,$

(mit ${}s_{1}=0$) und fassen diese als Elemente in ${}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {I}}\right)}$ auf. Diese Schnitte erfüllen ${}s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}$. Diese Elemente ${}s_{i}$ definieren Elemente

${}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,.$

Da ihre Differenzen von ${}{\mathcal {F}}$ herrühren, sind sie verträglich und definieren ein globales Element

${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,.$

Dies definiert über den verbindenden Homomorphismus ${}\delta$ die Kohomologieklasse

${}\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.$

Wenn der Čech-Kozykel ${}r_{ij}$ durch andere Elemente ${}s_{i}'\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$ repräsentiert werden, so sind die Elemente ${}s_{i}-s_{i}'$, ${}i\in I$, wegen

${}(s_{i}-s_{i}')-(s_{j}-s_{j}')=s_{i}-s_{j}-(s_{i}'-s_{j}')=r_{ij}-r_{ij}=0\,$

verträglich und definieren ein globales Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$. Daher geht die Differenz der beiden Repräsentierungen in ${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})$ auf ${}0$. Insgesamt liegt daher eine wohldefinierte Abbildung

${\check {Z}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\right)}$

vor. Es sei nun der Čech-Kozykel so, dass er die Nullklasse in der ersten Čech-Kohomologie definiert. Dann gibt es nach Definition Elemente ${}r_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}$ mit

${}r_{i}-r_{j}=r_{ij}\,.$

Wir fassen diese Elemente wieder als globale Elemente in ${}{\mathcal {I}}$ auf und die ${}r_{i}$ können direkt die Rolle der ${}s_{i}$ von oben übernehmen. Dann sind die ${}t_{i}$ alle gleich ${}0$ und damit ist das Bild in ${}H^{1}(X,{\mathcal {F}})$ ebenfalls gleich ${}0$. Somit hat man eine Abbildung

${\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}}).$

Diese ist ein Gruppenhomomorphismus und invers zu der zuvor konstruierten Abbildung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ und sei

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

eine Überdeckung ${}{\mathfrak {U}}$.

Dann ist die Abbildung

${\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {F}})$

injektiv.

Beweis

Wir schließen an den Beweis zu Fakt an und rekapitulieren die Konstruktion der Abbildung. Es sei ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {I}}$ eine Einbettung in eine injektive Garbe und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Garbensequenz. Es sei ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$ durch

${}{\left(r_{ij}\right)}_{i<j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,$

mit ${}r_{ij}-r_{ik}+r_{jk}=0$ gegeben. Die ${}r_{ij}$ fassen wir in ${}{\mathcal {I}}$ als globale Elemente auf und definieren

${}s_{i}:=r_{i1}\,,$

die wir auf ${}U_{i}$ auffassen. Diese Elemente ${}s_{i}$ definieren Elemente

${}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}\,$

die einem globalen Element

${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}\,$

entsprechen. Dieses legt

${}\delta (t)\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,$

fest und das ist das Bild der Čech-Klasse. Es sei nun

${}\delta (t)=0\,$

vorausgesetzt. Dann gibt es ein globales Element ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$, das auf ${}I$ abbildet. Es werden dann die ${}s-s_{i}$ auf ${}0$ abgebildet und daher ist ${}s-s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$. Daher ist

${}s-s_{j}-(s-s_{i})=s_{i}-s_{j}=r_{i1}-r_{j1}=r_{ij}\,$

und die Čech-Klasse ist trivial.

$\Box$

Satz

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$.

Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus

${}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\cong H^{1}(X,{\mathcal {F}})\,.$

Beweis

Die Injektivität wurde in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}c\in H^{1}(X,{\mathcal {F}})$. Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Garbensequenz mit ${}{\mathcal {I}}$

injektiv. Die Kohomologieklasse ${}c$ wird repräsentiert durch einen globalen Schnitt ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {F}}\right)}$. Für diesen gibt es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und Schnitte ${}s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$ derart, dass ${}s_{i}$ unter der Quotientenabbildung auf ${}s{|}_{U_{i}}$ abbildet. Dann ist die Familie ${}s_{i}-s_{j}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}$, ${}(i,j)$, ein erster Čech-Kozykel von ${}{\mathcal {F}}$. Die zugehörige Čech-Kohomologieklasse bildet auf ${}c$ ab.

$\Box$